Равновесие Нэша
Отсутствие выгодного одностороннего отклонения. И чего это не означает
Равновесие Нэша это набор стратегий, при котором ни один игрок не может увеличить свою выплату, поменяв стратегию в одиночку, и проверяется оно перебором односторонних отклонений. Ни единственности, ни хорошего исхода понятие не обещает: в игре с выплатой по минимуму равновесий семь, от 0,70 до 1,30 доллара, и к десятому периоду худшее из них выбирали 72 % участников (Ван Хёйк и соавторы, 1990).
Yale ECON 159, лекции с 5 по 8 · Van Huyck и др., 1990 · Nagel, 1995 · 45 мин · обновлено 01.10.2026
После урока вы сможете
- Проверять исход на равновесность поклеточным перебором односторонних отклонений
- Разбирать на числах координационную игру и игру, где равновесия в чистых стратегиях нет
- Называть три предела понятия: равновесий бывает много, они бывают плохими для всех, и их можно не найти
- Отличать теорему о существовании равновесия от утверждения о поведении людей
В прошлом уроке хватило доминирования: у каждой лавки нашлось действие, лучшее при любом поведении соседа. Так бывает редко.
Два завода выпускают садовую технику и выбирают тип батарейного разъёма: А или Б. Разъём Б технически лучше, но важнее совместимость. Если заводы выберут разное, покупателю приходится держать две зарядки, и продажи проседают у обоих. Годовая прибыль в миллионах рублей выходит такая. Оба выбрали А, по 50. Оба выбрали Б, по 80. Выбрали разное, по 10.
Проверим доминирование для первого завода. Если второй берёт А: у первого А даёт 50, Б даёт 10, так что лучше А. Если второй берёт Б: А даёт 10, Б даёт 80, и теперь лучше Б. Сравнения указывают в разные стороны, и то же самое у второго завода. Доминируемых стратегий здесь нет ни одной, и весь аппарат прошлого урока на этой таблице молчит.
Нужно понятие, работающее там, где лучшее действие зависит от чужого.
Определение: некуда выгодно отклониться
Исход, то есть набор из одной стратегии каждого игрока, называется равновесием Нэша, если ни один игрок не может увеличить свою выплату, поменяв свою стратегию в одиночку, при неизменных стратегиях остальных.
Определение отрицательное, и на этом стоит задержаться. Оно не утверждает, что исход хорош, справедлив, устойчив во времени или что игроки его найдут. Оно утверждает ровно одно: изнутри, поодиночке, никому не выгодно уйти.
Проверка механическая, надо перебрать клетки. Оба выбрали А, по 50: первому уйти в Б значит получить 10 вместо 50, то есть невыгодно, и у второго то же самое. Равновесие. Оба выбрали Б, по 80: уход в А даёт 10 вместо 80. Равновесие. Первый А, второй Б, по 10: первому уйти в Б значит получить 80 вместо 10. Не равновесие. Четвёртая клетка симметрична третьей.
Итог: два равновесия. Эквивалентная формулировка, которой удобнее пользоваться: равновесие это набор взаимных наилучших ответов. Каждый делает лучшее, что можно сделать при том, что делают остальные, и так одновременно у всех.
И сразу же виден первый предел понятия. Теория назвала двух кандидатов и не выбрала между ними, хотя один явно лучше для обоих. Такие задачи, где игрокам важнее совпасть, чем угадать «правильный» вариант, называют координационными. В экономике так устроен выбор стандарта, платёжной системы, языка отраслевой документации и времени начала рабочего дня.
Возьмите клетку. Закройте рукой чужие стратегии, они по определению не меняются. Пройдите по своему столбцу возможностей: есть ли строка с большим числом лично для вас? Если нет ни у кого из игроков, это равновесие. Проверка занимает столько шагов, сколько стратегий, и не требует ничего знать о намерениях.
Игра, в которой равновесия в чистых стратегиях нет
Бьющий пенальти выбирает угол, вратарь выбирает, в какой угол прыгать. В таблице стоит, сколько мячей из ста будет забито. Числа здесь учебные, взяты ради счёта, а не измерены. Бьющий влево, вратарь влево: 40. Бьющий влево, вратарь вправо: 90. Бьющий вправо, вратарь влево: 80. Бьющий вправо, вратарь вправо: 30.
Бьющий хочет больше, вратарь меньше. Перебираем клетки. Сорок: бьющему выгодно уйти вправо, там 80. Восемьдесят: вратарю выгодно уйти вправо, там 30. Тридцать: бьющему выгодно влево, там 90. Девяносто: вратарю выгодно влево, там 40. Перебор замкнулся в круг: равновесия в чистых стратегиях нет ни одного.
Выход дают смешанные стратегии: игрок выбирает не действие, а вероятности действий. Условие равновесия превращается в требование, чтобы противнику было безразлично, что делать. Иначе он перестал бы смешивать и ушёл в одно действие.
Досчитаем. Пусть бьющий бьёт влево с вероятностью q. Вратарь, прыгая влево, пропускает 40q + 80(1 − q) = 80 − 40q. Прыгая вправо, он пропускает 90q + 30(1 − q) = 30 + 60q. Эти величины равны при 80 − 40q = 30 + 60q, откуда q = 0,5.
Теперь наоборот: вратарь прыгает влево с вероятностью p. Бьющий, ударяя влево, забивает 40p + 90(1 − p) = 90 − 50p. Ударяя вправо, он забивает 80p + 30(1 − p) = 30 + 50p. Равенство при p = 0,6.
Остановитесь здесь: это самое контринтуитивное место модуля, и объяснить его надо прямо. Заметьте, что произошло. Вероятность бьющего нашлась из чисел вратаря, а вероятность вратаря из чисел бьющего. Выглядит как ошибка в записи, но ошибки нет. Смешивать имеет смысл только тогда, когда оба действия приносят поровну: будь одно лучше, игрок выбирал бы его всегда и не смешивал бы вовсе. Значит, условие равновесия это условие «противнику безразлично», записанное на его выплатах, а выполняется оно подбором моих вероятностей, потому что менять их могу только я. Отсюда и распределение работы: моя вероятность работает на чужую задачу безразличия, а чужая на мою. Мои собственные выплаты в мою вероятность не входят вовсе.
Равновесие: бьющий выбирает углы поровну, вратарь прыгает влево в шести случаях из десяти, забивается 90 − 50 × 0,6 = 60 мячей из ста. Заметьте несимметричность: вратарь чаще прыгает влево не потому, что туда чаще бьют, а потому, что правый угол он и так закрывает лучше.
Джон Нэш доказал в 1950 году, что у любой конечной игры равновесие в смешанных стратегиях существует. Это теорема о модели. Она гарантирует, что вычислять есть что, и ничего не говорит о том, как ведут себя живые вратари.
Предел первый: равновесий бывает много
Дальше идёт половина урока о том, чего понятие не даёт. Материалом послужит опыт Джона Ван Хёйка, Реймонда Батталио и Ричарда Бейла (American Economic Review, 1990): 107 студентов, семь независимых групп, в каждой от 14 до 16 человек.
Правило простое. Каждый называет целое число от 1 до 7. Выплата за период = 0,20 × (минимум по группе) − 0,10 × (собственное число) + 0,60 доллара. Смысл: результат определяется самым слабым звеном, а собственное усилие чего-то стоит. Так устроена любая работа, где общий итог упирается в отстающего, будь то сборочная линия, совместный проект или дежурство.
Все семь однородных исходов являются равновесиями. Проверим два крайних.
Все называют 7: каждый получает 0,20 × 7 − 0,10 × 7 + 0,60 = 1,40 − 0,70 + 0,60 = 1,30. Отклониться вверх некуда. Отклонение вниз, скажем на 6, делает минимум равным 6 и даёт 1,20 − 0,60 + 0,60 = 1,20, что меньше 1,30. Равновесие.
Все называют 1: каждый получает 0,20 − 0,10 + 0,60 = 0,70. Отклонение вверх, скажем на 2, минимум не меняет, ведь он остаётся равен 1. Такое отклонение даёт 0,20 − 0,20 + 0,60 = 0,60, что меньше 0,70. Равновесие.
Так же проверяется каждый промежуточный исход: выплата при всеобщем выборе числа k равна 0,10k + 0,60, то есть от 0,70 до 1,30. Семь равновесий, различающихся почти вдвое. Теория перечисляет все семь и ни на одном не настаивает. Это не изъян изложения, а точная мера того, на что понятие способно.
Предел второй: равновесие бывает плохим для всех
Что происходило на самом деле. В первом периоде число 7 назвал 31 % участников (33 из 107), а число 1 только 2 % (2 из 107). Минимум по группе ни в одной группе не превысил 4. К десятому периоду картина перевернулась: 1 называли 72 % участников (77 из 107), и минимум во всех семи группах равнялся единице.
То есть группы сошлись к худшему из семи равновесий. Каждый получал 0,70 доллара за период там, где было доступно 1,30.
Обратите внимание, чего в этом объяснении нет. Нет ошибки: в конце каждый играет наилучший ответ на то, что делают остальные. Отклоняться и правда невыгодно. Нет злого умысла. Нет непонимания правил: перед началом все 107 участников правильно ответили на проверочные вопросы по таблице выплат.
Механизм виден в тех же числах. Назвать 7, когда минимум окажется 1, значит получить 0,20 − 0,70 + 0,60 = 0,10 доллара, почти ничего. Назвать 1 значит получить 0,70 при любом поведении остальных. Осторожный выбор защищён, смелый не защищён ничем, и достаточно нескольких осторожных, чтобы наказать всех смелых. После этого смелых становится меньше, минимум падает, и процесс идёт до упора.
Контрольное условие, поставленное авторами, важно не меньше самого результата. В отдельной обработке штраф за собственное число убрали, то есть обнулили коэффициент 0,10, и число 7 стало доминирующей стратегией. Его немедленно выбрали 84 % участников (76 из 91), а к пятнадцатому периоду 96 %. Значит, дело не в неспособности участников сообразить, что 1,30 лучше, чем 0,70. Дело в риске. Когда вернули прежнюю таблицу, координация рассыпалась снова: в шестнадцатом периоде 7 назвали 25 %, а на 1 пришлось 37 %.
Отсюда содержательный вывод, выходящий далеко за пределы лаборатории. Утверждение «раз этот исход сложился на рынке, значит, он всех устраивает» неверно как рассуждение. Устойчивость исхода означает лишь, что никто не может улучшить своё положение в одиночку. Улучшение может требовать одновременного действия многих, и тогда сколько угодно долгое существование плохого равновесия ничего не говорит о его качестве.
В обиходе «равновесие» звучит как «всё уравновешено, значит, всё хорошо». В экономике это технический термин с отрицательным определением: некуда выгодно отклониться поодиночке. Худший из семи исходов в опыте Ван Хёйка остаётся полноценным равновесием. Всякий раз, когда из равновесности выводят желательность, пропущен целый шаг рассуждения, которого обычно не делают вовсе.
Предел третий: существование не означает нахождения
Третий предел самый неудобный: равновесие может быть единственным, легко вычислимым и всё равно не сыгранным.
Опыт Розмари Нагель (American Economic Review, 1995). Участники, от 15 до 18 человек в сессии, называют число из отрезка от 0 до 100. Выигрывает тот, чьё число ближе всего к p, умноженному на среднее по группе. Проверялись p, равные 1/2, 2/3 и 4/3.
При p меньше единицы равновесие единственное, все называют ноль, и вычисляется оно в несколько строк. Никто не называет больше 100, значит среднее не больше 100, значит выигрышное число при p = 2/3 не больше 66,7, значит называть больше 66,7 бессмысленно. Повторяем рассуждение на новом потолке: 44,4, затем 29,6, затем 19,8, и так до нуля.
Наблюдалось другое. Средние первого раунда: 27,05 при p = 1/2, 36,73 при p = 2/3, 60,12 при p = 4/3. В сессиях с p = 1/2 и p = 4/3 ноль не назвал ни один участник. За четыре раунда числа снижались, но нуля не достигали.
И вот что здесь важнее всего. Участник, назвавший ноль в первом раунде при p = 2/3, не просто не угадал, он проиграл бы: выигрышным было число около 24,5. Играют против людей, а не против теоремы. Если остальные делают один-два шага рассуждения, то десять шагов приносят прямой убыток. Равновесие является наилучшим ответом только на само себя, и вопрос, откуда игроки узнают, что все они в нём находятся, теория Нэша не решает и решать не берётся.
Отсюда рабочее правило чтения. Фраза «в равновесии фирмы установят такую-то цену» остаётся условным утверждением: если сложится устойчивое взаимное соответствие ожиданий и действий, оно будет выглядеть так-то. Она не содержит ни утверждения, что такое соответствие сложится, ни срока, ни механизма, которым оно складывается. Механизм это уже вопрос обучения, привычки и истории отношений, и решается он данными, а не выкладкой.
Что понятие всё-таки даёт
Перечисленное не повод от равновесия отказываться. Оно даёт три вещи, каждая из которых полезна, если не требовать от неё большего.
Первое: отсев. Исход, не являющийся равновесием, устойчивым быть не может: там есть игрок, которому выгодно уйти одному, и он уйдёт. Это отсекает почти все мыслимые исходы почти во всех задачах. А отрицательные утверждения обычно надёжнее положительных.
Второе: язык для вопроса. Найдя равновесия, вы получаете список того, что вообще может держаться, и дальше спрашиваете данные, какое из них наблюдается и почему именно оно. Опыт Ван Хёйка устроен ровно так и без понятия равновесия был бы неинтерпретируем.
Третье: указание на рычаг. Если наблюдаемое равновесие плохо, разбор показывает, что именно надо менять, чтобы плохое перестало быть равновесием. В игре с минимумом достаточно было убрать штраф за собственное усилие, и координация наступила в первом же периоде.
И граница, которую стоит запомнить дословно: равновесие Нэша не является предсказанием поведения. Чтобы стать предсказанием, ему нужны дополнительные допущения о том, что игроки друг о друге знают, сколько раз они играли и откуда взялись их ожидания. Эти допущения проверяются отдельно и в лабораторных условиях часто не подтверждаются.
Найти равновесие
Матрица два на два с редактируемыми выплатами. Отметьте лучшие ответы каждого игрока и посмотрите, где они совпали.
Ключевые работы
| John Nash, «Equilibrium Points in n-Person Games», Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1) | 1950 | Определение равновесия и доказательство его существования в смешанных стратегиях для любой конечной игры. Результат о модели, не о поведении. |
| Van Huyck, Battalio, Beil, «Tacit Coordination Games, Strategic Uncertainty, and Coordination Failure», American Economic Review 80(1) | 1990 | Игра с выплатой по минимуму: семь равновесий от 0,70 до 1,30 доллара. К десятому периоду 72 % участников выбирали худшее, и минимум во всех семи группах равнялся единице. |
| Rosemarie Nagel, «Unraveling in Guessing Games: An Experimental Study», American Economic Review 85(5) | 1995 | Единственное равновесие требует назвать ноль, и почти никто его не играл: средние первого раунда 27,05 при p = 1/2 и 36,73 при p = 2/3. |
Что подтвердилось, а что нет
Держится в узкой форме: устойчивый исход должен быть равновесием, иначе кому-то выгодно уйти одному. В широкой форме, как предсказание того, что игроки в равновесие придут, оно не подтверждается. У Нагель (1995) равновесие единственное и вычисляется в несколько строк, а средние первого раунда составили 27,05 и 36,73 вместо нуля. У Ван Хёйка и соавторов (1990) равновесий семь, и группы сходились к худшему. Чтобы стать предсказанием, понятию нужны дополнительные допущения об общем знании и об истории отношений, и они проверяются отдельно.
Слово «равновесие» в экономике имеет отрицательное определение: никому не выгодно отклониться в одиночку. О желательности исхода оно не говорит ничего. В опыте Ван Хёйка худший из семи исходов и есть полноценное равновесие, в котором каждый получал 0,70 доллара вместо доступных 1,30, и никто не мог улучшить своё положение сам. Улучшение требовало одновременного действия многих, а такое действие понятием равновесия не описывается и само по себе не происходит.
Равновесная стратегия является наилучшим ответом только на равновесное поведение остальных. В игре Нагель участник, назвавший равновесный ноль в первом раунде при p = 2/3, проиграл бы: выигрышным было число около 24,5. Против людей, делающих один-два шага рассуждения, десять шагов приносят убыток. Поэтому «рационально» здесь зависит не от теоремы, а от того, что известно о партнёрах, и это эмпирический вопрос.
Термины
- равновесие НэшаNash equilibrium
- Набор из одной стратегии каждого игрока, при котором ни один не может увеличить свою выплату, поменяв стратегию в одиночку.
- наилучший ответbest response
- Стратегия, дающая игроку наибольшую выплату при заданных стратегиях остальных. Равновесие складывается из взаимных наилучших ответов.
- одностороннее отклонениеunilateral deviation
- Смена стратегии одним игроком при неизменных стратегиях остальных. Проверка исхода на равновесность сводится к перебору всех таких отклонений.
- координационная играcoordination game
- Игра, в которой игрокам важнее совпасть в выборе, чем угадать определённый вариант. Как правило, имеет несколько равновесий.
- смешанная стратегияmixed strategy
- Выбор не действия, а вероятностей действий. Чистая стратегия это частный случай, когда одна вероятность равна единице.
- равновесие, доминирующее по выплатамpayoff-dominant equilibrium
- Равновесие, дающее каждому игроку не меньше, чем любое другое. В игре с выплатой по минимуму это всеобщий выбор семёрки: 1,30 доллара против 0,70.
- гарантирующая стратегияsecure strategy
- Стратегия с наибольшей выплатой в худшем случае. В игре с выплатой по минимуму это единица: 0,70 доллара при любом поведении остальных.
- стратегическая неопределённостьstrategic uncertainty
- Незнание того, какое из равновесий выберут остальные. Возникает даже при полном знании правил и выплат и не устраняется вычислением.
- провал координацииcoordination failure
- Устойчивый исход, худший для всех участников, чем другой достижимый, при том что перейти к лучшему в одиночку невозможно.
Практикум · Семь равновесий на своей таблице
Задача урока в том, чтобы убедиться счётом, что все семь исходов игры Ван Хёйка равновесны, и увидеть, откуда берётся расхождение между лучшим и осторожным выбором. Понадобятся бумага и четверть часа арифметики. Последний шаг делается на живом материале.
- Выпишите правило: выплата = 0,20 × (минимум по группе) − 0,10 × (ваше число) + 0,60 доллара, число целое от 1 до 7. Постройте таблицу 7 × 3: ваша выплата при каждом вашем числе, отдельно для минимума 1, минимума 4 и минимума 7.
- По таблице ответьте на два вопроса: при каждом из трёх минимумов какое ваше число даёт больше всего и как ответ зависит от минимума. Запишите зависимость словами.
- Проверьте равновесность всех семи однородных исходов: для каждого посчитайте, что вы получите, отклонившись на единицу вверх и на единицу вниз. Убедитесь, что оба отклонения дают меньше или столько же.
- Выпишите два числа: наибольшую возможную выплату (какое число её даёт и при каком условии) и наибольшую гарантированную выплату (какое число её даёт). Разница между ними и есть цена риска, из-за которой группы сходились к худшему равновесию.
- Найдите за последний месяц ситуацию, где итог группы определялся самым слабым звеном: общий проект, поездка, дежурство, сдача отчётности. Назовите, что играло роль минимума, кто первым снизил свой вклад и что конкретно надо было бы изменить в устройстве дела, чтобы высокий вклад перестал быть рискованным.
Вопросы для самопроверки
Что именно утверждает определение равновесия Нэша об исходе?
- Что этот исход даёт наибольшую сумму выплат всем игрокам
- Что ни одному игроку не выгодно поменять свою стратегию в одиночку
- Что игроки придут к этому исходу, если будут действовать разумно
- Что этот исход единственный устойчивый
В игре с выплатой 0,20 × (минимум) − 0,10 × (своё число) + 0,60 все называют 7 и получают по 1,30. Почему отклонение на 6 невыгодно?
- Потому что 6 доминируемая стратегия
- Потому что выплата не зависит от собственного числа
- Потому что при этом отклонении минимум не меняется
- Потому что минимум падает до 6, и выплата составляет 1,20
К десятому периоду 72 % участников выбирали единицу, минимум во всех семи группах равнялся 1, и каждый получал 0,70 вместо доступных 1,30. Что из этого следует?
- Что устойчивость исхода ничего не говорит о том, хорош ли он
- Что участники не поняли правил игры
- Что теория равновесия к этой игре неприменима
- Что участникам не хватило периодов, чтобы найти лучшее
В игре Нагель равновесие единственное, и состоит оно в том, чтобы назвать ноль, а средние первого раунда составили 27,05 при p = 1/2 и 36,73 при p = 2/3. Что здесь показано?
- Что равновесие Нэша существует не у всех игр
- Что участники вели себя нерационально: равновесие вычисляется в два хода, и не назвать ноль означает прямую ошибку
- Что вычислимость равновесия не означает, что его сыграют, и играть его в одиночку невыгодно
- Что теорема Нэша о существовании равновесия неверна: в этой игре равновесие есть, а сыграно оно не было
Экономист пишет: «в равновесии эти две фирмы установят цену 120 рублей». Что содержится в этом утверждении?
- Прогноз цены при условии, что модель верна
- Утверждение, что цена уже такая либо станет такой в обозримый срок: понятие равновесия описывает то, к чему рынок приходит
- Утверждение о том, какая цена справедлива
- Условное утверждение: если сложится устойчивое взаимное соответствие ожиданий и действий, оно будет выглядеть так
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- Yale ECON 159 «Game Theory», Бен Полак, лекции с 5 по 8 (Open Yale Courses): Равновесие Нэша от определения до смешанных стратегий, с разбором банковской паники и выбора места на пляже.
- Van Huyck, Battalio, Beil, «Tacit Coordination Games, Strategic Uncertainty, and Coordination Failure», AER, 1990: Первоисточник опыта с выплатой по минимуму, включая контрольную обработку, в которой координация наступала немедленно.
- Rosemarie Nagel, «Unraveling in Guessing Games: An Experimental Study», AER, 1995: Как выглядит поведение, когда равновесие единственно, вычислимо и никем не сыграно.