Ковариация: общий ход двух величин, записанный в неудобных единицах

Ковариация это среднее произведение отклонений двух величин от их средних. Если обе величины обычно одновременно выше или одновременно ниже своих средних, ковариация положительна, если одна выше, когда другая ниже, отрицательна. Прямо читать её трудно: её величина зависит от единиц измерения. Разделив ковариацию на стандартные отклонения, получают корреляцию.

Как посчитать

Возьмём пять пар значений и найдём для каждой отклонения обеих величин от их средних. Перемножим отклонения в каждой паре. Пусть произведения вышли 8, 2, 0, 4, 4. Их сумма 18, среднее 3,6, и это ковариация.

Теперь разделим её на произведение двух стандартных отклонений. Пусть они равны 1,41 и 2,83, произведение 4. Получаем 3,6 / 4 = 0,9. Это коэффициент корреляции: число безразмерное и всегда лежит между −1 и 1.

Почему её трудно читать

Ковариация роста и веса в сантиметрах и килограммах и она же в метрах и граммах дают разные числа при одной и той же связи. Поэтому само число «ковариация равна 150» ничего не говорит о силе связи: оно может быть большим из-за крупных единиц и маленьким из-за мелких. Знак у ковариации читается, величина нет.

Корреляция и есть ковариация, приведённая к сопоставимому виду. Значение 1 означает, что все точки лежат ровно на одной возрастающей прямой, −1 на убывающей, 0 говорит, что линейной согласованности нет. Ковариация остаётся полезной в расчётах: из неё строят регрессию, матрицы в анализе данных и оценку риска портфеля.

Где ошибаются

Первая ошибка: сравнивать ковариации разных пар величин и делать вывод, где связь сильнее. Для этого есть корреляция, а ковариации в разных единицах несравнимы.

Вторая ошибка общая для ковариации и корреляции: принимать нулевое значение за отсутствие связи. Обе измеряют только линейную согласованность. У строго нелинейной зависимости, например симметричной параболы, ковариация может быть нулевой при полной предсказуемости одной величины по другой.

Вопросы

Чем ковариация отличается от корреляции?

Корреляция это ковариация, делённая на произведение стандартных отклонений. Ковариация зависит от единиц измерения, корреляция безразмерна и лежит между −1 и 1.

Что означает отрицательная ковариация?

Что при значениях одной величины выше среднего другая чаще оказывается ниже своего среднего. Величины движутся в противоположные стороны.

Где используется ковариация?

В регрессии, в методах анализа многомерных данных и в финансах, при расчёте риска портфеля: ковариации доходностей показывают, насколько активы колеблются вместе.