Карта курса

Двадцать четыре урока в трёх списках и один вопрос, с которого всё началось

Карта курса собирает итоговый обзор формальной логики: что доказано (корректность, полнота, неразрешимость логики предикатов), что выбрано соглашением (истинность импликации при ложном антецеденте) и где ловушки продолжают ловить (задача Уэйсона, порядок кванторов). Все 24 урока разложены по трём спискам.

Итог курса. forall x: Calgary, части I-V. Open Logic Project · 28 мин · обновлено 06.09.2026

Вернёмся к разговору, с которого курс начинался. «Если он виноват, он сюда не придёт. А он пришёл. Значит, не виноват». В уроке 1 вы могли только почувствовать подвох, а теперь посмотрим, что делается с этой фразой за полминуты. Разберём по шагам, ни один не пропуская.

Шаг 1. Раскладываем по ролям. Посылка: если виноват, то не придёт. Посылка: пришёл. Заключение: не виноват.
Шаг 2. Заводим ключ перевода (приём из урока 4). Пусть P есть «он виноват», а Q есть «он пришёл».
Шаг 3. Записываем посылки. Первая записывается как P → ¬Q и читается надёжным чтением урока 6: не бывает так, чтобы он был виноват и при этом пришёл. Вторая есть просто Q, то есть «он пришёл».
Шаг 4. Ищем случай-провал. Заключение ложно, значит, он виноват, то есть P истинно.
Шаг 5. Проверяем, сходятся ли требования. Из P и первой посылки выходит ¬Q, то есть он не пришёл, а вторая посылка говорит, что пришёл: требования поссорились.
Шаг 6. Случая нет. Значит, переход правильный.

Это modus tollens, и придраться к нему нельзя. Претензия к рассуждению остаётся, но теперь она названа точно: ложна первая посылка. Виноватые приходят как раз затем, чтобы не выглядеть виноватыми. Полминуты, и ни слова о том, «кажется» или «не кажется». Ради этого всё и затевалось, а дальше идёт карта: три списка и один вопрос.

Список первый: что доказано

У этого списка особое свойство: каждый его пункт не зависит ни от чьего мнения. Теорема, доказанная в 1931 году, доказана и сегодня: её не пересматривают, не ослабляют и не проверяют заново на новых данных. Проверить можно только доказательство, и оно проверено. Вот всё, что курс доказал или изложил как доказанное.

Из противоречия следует всё (урок 9). Если посылки противоречивы, правилен любой вывод из них.
Законы де Моргана (урок 9). «Неверно, что оба» равносильно «хотя бы один не». «Ни то ни другое» равносильно «не то и не это».
Функциональная полнота (урок 5). Любая истинностная функция выражается через ¬ и ∧, а хватает и одного штриха Шеффера.

Разрешимость логики высказываний (урок 20). Таблица истинности всегда даёт ответ за конечное число шагов.
Цена таблицы (урок 20). Число строк удваивается с каждой переменной: десять переменных дают 1024 строки, двадцать дают больше миллиона, тридцать дают больше миллиарда.
NP-полнота (урок 20). Задача о выполнимости стала первой задачей, для которой NP-полноту доказали (Кук, 1971).

Отрицание кванторов (урок 15). «Неверно, что все сдали» равносильно «некоторый не сдал».
Судьба силлогистики (урок 15). Из 24 традиционных модусов девять держатся на молчаливом допущении, что классы непусты. Без него правильных модусов остаётся 15.

Корректность (урок 18). Всё, что выводится в системе, действительно следует: система не врёт.
Полнота логики первого порядка (уроки 18 и 19). Всё, что следует, выводится. Это теорема Гёделя 1929 года, опубликованная в 1930-м.
Неразрешимость первого порядка (урок 20). Общего механического способа проверить следование не существует. Доказали Чёрч и Тьюринг независимо, в 1936 году.
Полуразрешимость (урок 20). Если следует, машина рано или поздно найдёт вывод, а если не следует, она может искать вечно.

Неполнота арифметики (урок 19). Всякая непротиворечивая, эффективно аксиоматизируемая система, достаточно сильная, чтобы выразить арифметику, неполна: в ней есть утверждение об арифметике, которое не доказуемо и не опровержимо.
Вторая теорема о неполноте (урок 19). Такая система не может доказать собственную непротиворечивость.

Про две последние пары стоит сказать отдельно: их смешивают чаще всего остального. Полнота и неполнота есть разные теоремы одного человека о разных вещах. Полнота 1929 года говорит про логику первого порядка, и это хорошая новость, а неполнота 1931 года говорит про арифметику.

У неполноты три обязательных условия: непротиворечивость, эффективная аксиоматизируемость, достаточная сила. Уберите любое, и теоремы не будет. Проверить это легко на примерах: арифметика Пресбургера, где есть сложение и нет умножения, полна и разрешима. Элементарная геометрия по Тарскому тоже полна и разрешима.

Список второй: что выбрано соглашением

Второй список устроен иначе: здесь не открытия, а решения. Каждое из них можно было принять по-другому, и тогда вышла бы другая система, тоже работающая, но с другими неудобствами. Поэтому по каждому пункту сразу говорим, что было бы иначе при другом выборе.

Материальная импликация (урок 6). «Если P, то Q» ложно ровно в одном случае: P истинно, Q ложно. Другой выбор означал бы связку, которая требует связи по смыслу, и тогда значение целого перестало бы считаться по значениям частей, а таблица истинности к «если» стала бы неприменима. А среди истинностно-функциональных таблиц другой годной нет: любая другая либо ломает modus ponens, либо делает «если P, то P» не всегда истинным. Отсюда все странности урока 6: «Если Луна из сыра, то дважды два четыре» истинно, и из любых двух высказываний хотя бы одно условное между ними истинно. Это цена работоспособности, а не открытие о слове «если».

Включающее «или» (урок 5). Запись P ∨ Q истинна и тогда, когда истинны обе части. Другой выбор состоит в том, чтобы сделать основным исключающее «или», истинное ровно при одной части. Тогда из «идёт дождь» перестало бы следовать «идёт дождь или Луна из сыра»: при истинных обеих частях исключающее «или» ложно. Правило введения дизъюнкции из урока 11 пришлось бы выбросить, а с ним и половину привычных выводов. Само исключающее «или» при этом никуда не делось. Оно записывается как (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q) и читается: хотя бы одно и не оба.

Двузначность (уроки 5 и 7). Значений истинности ровно два, третьего не бывает. Другой выбор разобран в уроке 23: третье значение снимает обязанность отвечать «истинно или ложно» там, где ответа, кажется, нет. Плата известна поимённо. Формула P ∨ ¬P, то есть «P или не-P», перестаёт быть тавтологией, а формула P ∧ ¬P, то есть «P и не-P», перестаёт быть всегда ложной. Таблица на n переменных растёт как 3ⁿ вместо 2ⁿ.

Отказ от экзистенциального ввоза (урок 15). «Все A суть B» записывается как ∀x(Ax → Bx) и читается: для всякого x, если x есть A, то x есть B. При пустом A это истинно, и отсюда пустая истинность: «все единороги розовые» истинно, потому что единорогов нет, а «все нарушители будут наказаны» истинно, если нарушителей не случилось.

Другой выбор состоит в том, чтобы считать, что «все A суть B» обещает наличие хотя бы одного A. Тогда вернулись бы девять аристотелевских модусов, и переход «все A суть B, значит некоторые A суть B» снова стал бы правильным. Но за это пришлось бы платить: «все нарушители будут наказаны» стало бы ложным при отсутствии нарушителей, а говорят так именно про будущее, когда нарушителей ещё нет. И при каждом ∀ понадобилась бы отдельная проверка, что область не пуста.

Ещё четыре решения помельче, но всё ещё не о записи. «Но» пишется знаком «и» (урок 5). Противопоставление в условия истинности не входит, и отдельного знака ему не завели. Другой выбор потребовал бы связки, которую нельзя посчитать по частям.
Состав правил вывода (урок 11). Тренажёр убирает «или» дизъюнктивным силлогизмом, а учебники убирают его разбором случаев. Выводится одно и то же, а работа выглядит по-разному.
Доказательство от противного (урок 12). Допустить ¬A, дойти до ⊥ и заключить A есть ход разрешённый, а не обязательный: интуиционистская логика его не даёт, и урок 23 показывает цену.
Разбор определённых описаний (урок 17). «Тот самый» раскладывается на существование и единственность по Расселу. Это предложенный разбор, а не находка о русском языке.

Наконец, соглашения помельче, чисто о записи: старшинство связок, скобки у стрелок, буквы P, Q, R для высказываний и F, G, H для предикатов. Эти можно менять как угодно, и ничего не сломается. Но их стоит отличать от всего перечисленного выше: там смена решения меняет, что из чего следует.

Список третий: где интуиция подводит

Третий список составляет спину этого курса. В остальных курсах школы реестр показывает, в каком состоянии спор, а в логике спорить почти не о чем. Реестр здесь собирает другое: семьдесят мест, где уверенный ответ неверен, и тринадцать теорем с их условиями. Ниже самые частые из них.

Правильность и истинность (уроки 1 и 2). Аргумент с ложными посылками бывает безупречным, а аргумент с истинными посылками и истинным заключением бывает сломанным.
Противоречивые посылки (уроки 2 и 9). Из них следует что угодно, и это не поломка системы, а прямое следствие определения правильности.
Ненайденный контрпример (урок 3). Не доказывает ничего: инструмент опровергает окончательно и не подтверждает никак.

«Если» без связи по смыслу (урок 6). Ложный антецедент делает условное истинным: фраза «если Луна из сыра, то дважды два четыре» истинна.
Подтверждение следствия (урок 8). Из «если P, то Q» и Q заключение P не следует, а строка-провал такая: P ложно, Q истинно.
Отрицание антецедента (урок 8). Из «если P, то Q» и ¬P не следует ¬Q, и опровергает этот переход та же строка.
Обращение против контрапозиции (урок 8). Запись P → Q, то есть «если P, то Q», не то же самое, что Q → P, а запись ¬Q → ¬P, то есть «если не Q, то не P», то же самое. Интуиция путает ровно наоборот.

«Не все» против «все не» (урок 15). «Неверно, что все сдали» значит «кто-то не сдал», а не «никто не сдал».
Пустая истинность (урок 15). «Все единороги розовые» истинно, и «все единороги зелёные» тоже.
Область действия (урок 16). «Каждый кого-нибудь любит» имеет два чтения: сильное влечёт слабое, а обратное неверно.
Тождество (урок 17). Фраза «Утренняя звезда есть вечерняя звезда» несёт содержательное открытие, а не тавтологию.

Форма против содержания (урок 21). Одну и ту же задачу в отвлечённом виде решают верно около 19 % людей, а в бытовой обёртке около 72 %.
Перевод (урок 22). Формальная запись не устраняет спор о смысле, а переносит его туда, где он виден.
Гёдель (урок 19). Теоремы не говорят, что ничего нельзя доказать, не относятся к «системам вообще» и не доказывают превосходства человека над машиной.

Теперь главное. Список ловушек бесполезен, пока он остаётся списком. Работает не запоминание названий, а порядок действий, и он один и тот же для всех пунктов сразу.

Шаг 1. Выписать аргумент столбиком: посылки, потом заключение.
Шаг 2. Дописать молчаливые посылки отдельными строками, то есть то, что подразумевалось и не было сказано.
Шаг 3. Спросить: бывает ли случай, где все посылки истинны, а заключение ложно.
Шаг 4. Если ответ не виден, перевести в формулу и посмотреть на форму. Она почти всегда проще слов.
Шаг 5. Если формула велика, искать вывод, а не строить таблицу. Как это делается, показывают уроки 10-13.

Все пункты списка ловятся этими пятью шагами, и ни один не требует помнить своё название. И ни один шаг не требует знать предмет. В этом вся выгода: разбирать чужой довод о налогах, вирусах или уголовном праве можно, не разбираясь ни в налогах, ни в вирусах, ни в праве.

Что это даёт

Оговорок в курсе много, и подряд они читаются мрачно. Поэтому приобретения стоит собрать в одном месте: список короче, зато каждый пункт проверяется руками.

Проверка без знания предмета. Разобрать чужой довод о налогах, вирусах или уголовном праве можно, не разбираясь ни в налогах, ни в вирусах, ни в праве.
Доказательство, а не отсутствие возражений. Урок 3 умел только опровергать. С урока 8 «строки-провала нет» стало результатом, а не отчётом о неудачном поиске.
Проверяемость снаружи. Вывод отдают другому человеку, и он проверяет его построчно, ничего не додумывая. Ощущение так не передаётся.

Спор о слове превращается в спор о случае. Урок 22 показал это на «или». Вместо бесконечного «что значит это слово» остаётся один вопрос: если взяты оба, будет это нарушением или нет.
Обёртка перестаёт мешать. После записи «если P, то Q» пиво, буквы и пункт договора выглядят одинаково, а урок 21 измерил, во что обходится незаписанное.
Молчаливое становится обсуждаемым. Посылка, которую никто не произнёс, после выписывания защищается или отвергается наравне с прочими.

Заметьте, чего в списке нет. Нет обещания сделать человека умнее, правым или убедительным. Есть шесть вещей, которых до курса вы делать не умели, и ни одна из них не требует верить автору на слово. Оговорки следующего раздела ни одну из шести не отменяют.

Чего курс не давал

Честный список пропущенного. Он не короче предыдущих.

Аккуратных доказательств метатеорем. Корректность урок 18 разобрал по существу: правило за правилом, а потом сложением по цепочке. Аккуратной записи (индукции по длине вывода) там нет. Полнота первого порядка только сформулирована: её доказал Гёдель, и это доказательство в курс не входит. Оба целиком лежат в Open Logic Project.

Сослагательных условных. «Если бы отпустил, упало бы» классическая логика не описывает вовсе. Для них строят отдельные системы, и урок 6 говорил об этом прямо.

Теории множеств, теории моделей и вычислимости. Их коснулись ровно настолько, насколько понадобилось уроку о разрешимости.

Неклассических логик по-настоящему. Урок 23 показал, что каждая меняет и чем платит. Это обзор, а не курс.

Вероятностного вывода. Логика занимается выводом, где заключение гарантировано. Вывод, где заключение всего лишь вероятно, устроен иначе и подчиняется другим правилам.

Последнее стоит запомнить отдельно. Рассуждение «сто ворон были чёрные, значит все вороны чёрные» не плохое, а другое. Оно и не обещало гарантии, поэтому опровергать его контрпримером бессмысленно, а мерка выбирается по тому, на что аргумент претендует.

И ещё одно, о чём стоит сказать прямо: умение проверять переходы не делает человека правым. Логика переносит истинность с посылок на заключение и нигде её не производит. Откуда берутся истинные посылки, спрашивать надо у предмета, у данных, у людей, которые в предмете разбираются.

Куда идти дальше

Три направления, если хочется всерьёз. Металогика. Open Logic Project Ричарда Зака и соавторов, лицензия CC BY 4.0. Там доказываются теоремы, которые этот курс только назвал: корректность, полнота, а дальше теория моделей.

Теория множеств. Язык, на котором говорит современная математика. Кванторы и тождество из уроков 14-17 есть как раз то, что для входа туда нужно.

Теория вычислимости. Оттуда пришла неразрешимость первого порядка, и там же живёт вопрос, что машина может в принципе.

Совет, который стоит принять раньше остальных: натуральный вывод осваивается количеством. Двадцать разобранных выводов делают то, чего не сделает никакое чтение. Если модуль IV дался трудно, лучшее вложение времени состоит не в том, чтобы перечитать его, а в том, чтобы прорешать.

Из курсов школы ближе всего критическое мышление: там та же работа с аргументом, но на живых текстах и без формальной записи. Это реконструкция довода, разбор ошибок по существу, проверка источников. Соотношение между курсами простое: логика показывает строкой таблицы, почему подтверждение следствия есть ошибка формы, а критическое мышление показывает, как эта же ошибка выглядит в газетной статье, где формы не видно. Ни один из двух не заменяет другой, и порядок между ними не важен.

Чему это всё учило

Символы забудутся. Это нормально и не страшно. Через год мало кто вспомнит, чем ∀x∃y («у каждого есть свой») отличается от ∃y∀x («есть один для всех»). И как называется правило введения дизъюнкции, тоже мало кто вспомнит. Останется другое, и ради него курс писался. Останется привычка, услышав чужой довод, задавать один вопрос.

А бывает ли случай, где все посылки истинны, а заключение ложно?

Этот вопрос был задан в уроке 2 и с тех пор не менялся ни разу. Таблица истинности отвечала на него перебором, вывод отвечал построением пути. Кванторы расширили круг случаев, где его вообще можно задать, а теоремы Гёделя и неразрешимость показали границы, за которыми ответа механически не получить. Но сам вопрос всё это время был один и тот же.

Он дешёвый: на него отвечают за минуту и без подготовки. Он не требует знать предмет и не зависит от того, кто говорит и насколько громко. И он единственный, который отделяет «мне это не нравится» от «отсюда это не следует».

Первое говорит про вас. Второе говорит про аргумент. Курс был про второе.

Вопросы для самопроверки

Что читать

• Open Logic Project (Richard Zach и соавторы, CC BY 4.0): Следующая ступень: открытый учебник по металогике, где доказываются корректность и полнота, а дальше идут теория моделей и вычислимость. Начинать стоит с глав о натуральном выводе: они перекрываются с модулем IV и дают мягкий вход.
• forall x: Calgary, части I-V: Каркас программы этого курса, лицензия CC BY 4.0. Главная польза теперь в задачах: их там кратно больше, чем разобрано у нас, и с ответами. Натуральный вывод осваивается именно так.
• T. Franzén, «Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse» (2005): Целая книга о том, что теоремы Гёделя утверждают и чего не утверждают. Читать после урока 19: разбор злоупотреблений понятнее, когда точные формулировки уже в голове.