Проверка следования таблицей
Контрпример больше не придумывают: его находят перебором
Заключение следует из посылок, если в таблице истинности нет ни одной строки, где все посылки истинны, а заключение ложно. Такая строка даёт готовый контрпример, а её отсутствие доказывает правильность. Перебор строк заменяет придумывание контрпримера механической проверкой.
forall x: Calgary, гл. 12 «Semantic concepts». Стоическая традиция логики высказываний · 25 мин · обновлено 06.09.2026
После урока вы сможете
- Проверять аргумент таблицей: искать строку, где все посылки истинны, а заключение ложно
- Показывать таблицей, почему подтверждение следствия и отрицание антецедента относятся к ошибкам формы
- Читать знак ⊨ и понимать, что именно он утверждает
- Различать «контрпример не найден» и «строки-провала не существует»
Ночью в магазине сработала сигнализация, и утром хозяин говорит продавцу: «Если внутрь кто-то залез, сигнализация сработала. Она сработала. Значит, ночью кто-то залез». Продавец не согласен: он делает ровно то, чему учил урок 3, а именно пытается придумать случай, где обе фразы хозяина истинны, а вывод всё-таки ложен. Проходит минута, потом пять, и ничего не придумывается. И вот здесь самое интересное: из того, что продавец не придумал, не следует ничего.
Напомню, в чём было дело. Найденный контрпример закрывает вопрос: следования нет, спорить больше не о чем. Ненайденный не закрывает ничего: может быть, случая нет, а может быть, поиск был плохой. Между «я не нашёл» и «его не существует» лежит пропасть, и заполнить её усердием нельзя. Сегодня она закрывается, и не усердием, а счётом. В этом споре всего два простых высказывания, значит случаев ровно четыре, и они перечислимы.
Определение, переведённое на язык строк
Возьмём определение правильности из урока 2 и не будем в нём ничего менять. Аргумент правилен, если невозможен случай, где все посылки истинны, а заключение ложно. Теперь вспомним, чем стал случай в уроке 7: там случай превратился в строку таблицы, по одному значению на каждое простое высказывание. Подставим одно в другое, и получится проверка, которую можно выполнить руками.
Аргумент правилен, если в его таблице нет строки, где все посылки истинны, а заключение ложно.
Слово «невозможен» превратилось в «нет в таблице», и в этом весь урок. Остальное составляют подробности того, как считать. Такую строку (все посылки истинны, заключение ложно) будем называть строкой-провалом. Найденная строка-провал опровергает аргумент, а её отсутствие после полного просмотра доказывает его правильность. Два слова про порядок работы: столбцов теперь больше, по одному на каждую посылку и один на заключение. Считаются они точно так же, как в уроке 7, от букв к целому.
Спор о сигнализации, решённый за четыре строки
Ключ перевода: пусть P обозначает «ночью кто-то залез внутрь», а Q обозначает «сигнализация сработала». Первая посылка: P → Q. Читается: не бывает так, чтобы внутрь залезли, а сигнализация промолчала. Вторая посылка: Q, то есть сигнализация сработала. Заключение: P, то есть внутрь залезли.
P Q | P→Q Q | P
И И | И И | И
И Л | Л Л | И
Л И | И И | Л ← провал
Л Л | И Л | Л
Смотрим только на строки, где истинны обе посылки, а таких строк две: первая и третья. В первой заключение истинно, претензий нет, а в третьей заключение ложно, и вот она, строка-провал. Переведём её обратно на русский по ключу: P ложно, Q истинно, то есть внутрь никто не залезал, а сигнализация сработала. Бывает такое? Разумеется. Кошка, сквозняк, сбой датчика, забытая открытой форточка.
Продавец искал этот случай пять минут и не нашёл, а таблица нашла его сразу, и не потому, что умнее, а потому, что смотрит подряд, а не выборочно. Обратите внимание: это тот самый контрпример из урока 3. Ничего нового мы не изобрели, мы только перестали зависеть от того, придёт он в голову или не придёт.
В нашей таблице три строки из четырёх ведут себя прилично, и одна портит всё. Соотношение три к одному не значит ровно ничего: правильность требует, чтобы провальных строк не было вовсе. Обратная ошибка встречается не реже: строки, где хотя бы одна посылка ложна, разглядывают и ищут в них подвох. А их разглядывать незачем, ведь правильность о них ничего не утверждает.
Разбор по шагам: аргумент, который выдержал
Теперь случай, где следование есть. Разберём медленно, называя каждый шаг. «Если Аня сдала экзамен, она поставит кофе. Аня сдала экзамен. Значит, она поставит кофе».
Шаг 1. Ключ перевода. P обозначает «Аня сдала экзамен». Q обозначает «Аня поставит кофе».
Шаг 2. Запись. Посылки: P → Q и P. Заключение: Q.
Шаг 3. Строки. Разных букв две, значит строк четыре. Выписываем все, ни одной не пропуская.
Шаг 4. Отбор. Ищем строки, где истинны обе посылки. Посылка P истинна в первых двух строках. Во второй из них P → Q ложно, и строка выбывает. Остаётся одна: P истинно, Q истинно.
Шаг 5. Проверка. В этой единственной уцелевшей строке смотрим заключение Q. Оно истинно. Провала нет.
Шаг 6. Итог. Других строк с истинными посылками не осталось, а просмотрены были все четыре. Значит, строки-провала не существует, и аргумент правильный.
Шестой шаг стоит перечитать: слово «не существует» здесь получено не догадкой и не отсутствием идей, а тем, что список строк кончился. Эта форма, где из «если A, то B» и «A» получают «B», называется modus ponens. Она встречалась в уроке 3, где её признали надёжной по ощущению, а теперь у надёжности есть доказательство в четыре строки.
Четыре формы рядом, и все на одной таблице
Условное высказывание порождает четыре ходовых рассуждения. Два из них правильные, два неправильные, и путают их постоянно. Посчитаем один раз всё, что понадобится.
P Q | ¬P ¬Q P→Q
И И | Л Л И
И Л | Л И Л
Л И | И Л И
Л Л | И И И
Modus ponens: P → Q, P, значит Q. Обе посылки истинны только в первой строке. Заключение там истинно. Провала нет, форма правильная.
Modus tollens: P → Q, ¬Q, значит ¬P. Обе посылки истинны только в четвёртой строке. Заключение ¬P там истинно. Провала нет, форма правильная.
По-русски это звучит так: «Если залезли, сигнализация сработала. Она не сработала. Значит, не залезали». Ход надёжный, и таблица это подтверждает.
Подтверждение следствия: P → Q, Q, значит P. По-русски: «Если залезли, сигнализация сработала. Она сработала. Значит, залезали». Обе посылки истинны в строках первой и третьей. В третьей заключение P ложно. Провал есть, форма неправильная.
Отрицание антецедента: P → Q, ¬P, значит ¬Q. По-русски: «Если залезли, сигнализация сработала. Не залезали. Значит, она не сработала». Обе посылки истинны в строках третьей и четвёртой. В третьей заключение ¬Q ложно. Провал есть, форма неправильная.
Теперь главное наблюдение урока: обе неправильные формы ломаются в одной и той же строке, где P ложно, а Q истинно. У этой строки есть житейское имя: «сработало не от того». Асфальт мокрый не от дождя. Сигнализация сработала не от вора. Человек начитан не от книг. Стоит запомнить её отдельно: половина спорных доводов, где кто-то чувствует подвох и не может его назвать, живёт именно в этой строке.
Осталась пара столбцов, обещанная в уроке 6, и её надо не пересказать, а показать. Урок 6 утверждал две вещи: «если P, то Q» и «если не Q, то не P» значат одно и то же, а «если P, то Q» и «если Q, то P» значат разное. Считаем все три столбца по правилу стрелки и ставим рядом.
P Q | P→Q ¬Q→¬P Q→P
И И | И И И
И Л | Л Л И
Л И | И И Л
Л Л | И И И
Средний столбец считался так: в строке «Л И» консеквент ¬P истинен, значит целое истинно. В строке «И Л» антецедент ¬Q истинен, а консеквент ¬P ложен, и это единственная ложь. Сравните первый столбец со вторым: И Л И И и И Л И И, совпадение во всех четырёх строках. Доказательство на этом кончилось, причём глазами, без единого слова. Такая перестановка называется контрапозицией, и по-русски ¬Q → ¬P читается: если сигнализация не сработала, то никто не залезал.
Теперь третий столбец: И И Л И против И Л И И. Расхождение во второй и третьей строках, значит, P → Q и Q → P оказываются разными утверждениями. Второе читается: если сигнализация сработала, то кто-то залез. Как раз эту пару обычно и путают, и строка третья показывает цену путаницы: сигнализация сработала, а никто не залезал.
«Кофе или чай. Кофе кончился. Значит, чай». Запись: P ∨ Q, ¬P, значит Q. Считаем. Шаг 1. P ∨ Q истинно в трёх строках, то есть везде, кроме последней. Шаг 2. ¬P истинно в двух нижних. Шаг 3. Обе посылки вместе истинны только в одной строке: P ложно, Q истинно. Шаг 4. Заключение Q там истинно. Провала нет, форма правильная.
Знак ⊨
Писать каждый раз «в таблице нет строки, где все посылки истинны, а заключение ложно» утомительно. Пишут коротко: P → Q, P ⊨ Q. Читается: из «если P, то Q» и «P» следует Q. Слева от знака стоят посылки через запятую, справа стоит заключение, а сам знак читают «влечёт» или просто «следует».
Перечёркнутый знак означает обратное: P → Q, Q ⊭ P. Читается: из «если P, то Q» и «Q» не следует P, то есть строка-провал в таблице есть. Запомнить стоит вот что: знак ⊨ относится не к словам и не к вере, а к строкам. Он говорит, что среди всех строк таблицы нет одной определённой.
В модуле IV появится похожий на вид знак ⊢, и означать он будет другое: что заключение можно получить из посылок по правилам, шаг за шагом. Знак ⊨ говорит про то, что бывает в случаях, а знак ⊢ говорит про то, что можно построить. Вопрос о том, совпадают ли эти два знака, не праздный и не пустяковый. Ответом служит теорема, и она в уроке 18.
Долг третьего урока закрыт
Вернёмся к тому, чем кончался урок 3, потому что сейчас произошло главное событие первой трети курса. Там инструмент был односторонним: контрпример найден, значит вопрос закрыт навсегда, контрпример не найден, значит не доказано ровно ничего. Мы честно записали тогда: опровергать умеем, подтверждать не умеем вовсе.
Теперь умеем, и разница не в старательности, а в устройстве поиска. Воображение перебирает случаи по одному и никогда не знает, что кончило. Оно не может сказать «случаев больше нет», оно может сказать только «мне больше ничего не приходит в голову». Таблица знает: строк ровно 2ⁿ, они выписаны заранее, и, дойдя до последней, вы просмотрели всё, что бывает.
Поэтому пустая таблица означает не отсутствие результата, а результат: фраза «строки-провала нет» служит доказательством правильности, а не отчётом о неудачном поиске. Здесь нужна оговорка, без которой утверждение становится сильнее, чем есть. Таблица перебирает все случаи, которые различает язык связок, а внутрь буквы она не смотрит.
Проверьте ею рассуждение про Сократа: «все люди смертны, Сократ есть человек, значит Сократ смертен». Букв три, они друг с другом никак не связаны, и строка-провал находится мгновенно. Вердикт таблицы: не следует, и в своих границах она права, ведь связки тут ни при чём. Следование в этом рассуждении есть, но держится оно на устройстве внутри высказываний, на словах «все» и «человек», а язык связок этого устройства не видит.
Так что асимметрия снята не вообще, а в пределах логики высказываний. Это очень много: все формы с «не», «и», «или» и «если» проверяются теперь механически. Модуль V расширит границу дальше.
Чего таблица по-прежнему не делает
Четыре оговорки, чтобы не переоценить приобретение. Она не проверяет истинность посылок. Строка «все посылки истинны» служит условием внутри проверки, а не утверждением о действительности. Правда ли, что сигнализация исправна, таблица не знает и знать не может. Это вопрос об обоснованности, а не о правильности.
Она отвечает «да» или «нет» и молчит о причинах. Из таблицы видно, что провала нет. Из неё не видно, почему его нет. Модуль IV даёт другой инструмент, который показывает путь, и в уроке 10 это станет главным доводом.
Она растёт. Три буквы дают восемь строк, четыре дают шестнадцать, десять дают тысячу двадцать четыре. Проверять аргумент на десяти простых высказываниях таблицей человеку не по силам.
Она не видит устройства внутри высказывания. Об этом было выше: «все» и «некоторые» ей недоступны.
Ни одна из четырёх оговорок не отменяет главного. В своих границах таблица даёт то, чего у нас не было с первого урока: доказательство правильности, а не только опровержение.
Что дальше
Тренажёр ниже устроен так, что сначала спрашивает вас, а потом считает. Отвечать наугад бессмысленно, ведь интерес именно в том, чтобы поймать себя на расхождении. Особенно стоит пройти четыре формы из этого урока подряд и заметить, на которой из них рука тянется ответить неверно.
Урок 9 задаёт таблице третий вопрос: не «истинна ли формула» и не «следует ли одно из другого», а «как ведёт себя столбец сам по себе». Оттуда выйдут тавтологии, противоречия и самое неуютное следствие всего курса: из противоречивых посылок следует что угодно. В уроке 2 это было объявлено, а в уроке 9 это будет видно в таблице.
Строка, которой не должно быть
Сначала ответьте сами, следует ли заключение. Потом таблица подсветит строку-контрпример или покажет, что её нет. Восемь готовых аргументов, но можно вводить свои.
Откуда это и кто доказал
| Стоики (Хрисипп) | ок. 300 до н. э. | Логика высказываний как отдельная традиция: разбираются связи между целыми высказываниями, а не термины внутри них. По предмету это ближе к нашему модулю, чем силлогистика Аристотеля. |
Ловушки и теоремы
Считать строки бесполезно. Правильность требует, чтобы строк-провалов не было вовсе: одна такая строка при трёх благополучных закрывает вопрос. И наоборот, строки, где хотя бы одна посылка ложна, в проверке не участвуют совсем, сколько бы их ни было и как бы странно они ни выглядели.
Первое служит сообщением о поиске, второе служит доказательством. Воображение перебирает случаи по одному и не знает, когда кончило, а таблица выписывает все 2ⁿ строк заранее и кончает всегда. Именно на этой разнице держится переход от урока 3 к уроку 8: раньше мы умели только опровергать, теперь умеем и подтверждать.
Вывод там сплошь и рядом истинный: в магазин действительно мог залезть вор. Неправильна форма, а не исход. Ошибка в том, что посылки не запирают заключение: остаётся строка, где P ложно, а Q истинно, и заключение в ней проваливается. Аргумент с истинными посылками и истинным заключением бывает неправильным, и это разобрано в уроке 2.
Определение правильности переведено в проверку по строкам: случай стал строкой, строк ровно 2ⁿ, и все они выписаны заранее. Поэтому пустой результат здесь остаётся результатом, а не отчётом о том, что в голову ничего не пришло. Так закрыта асимметрия урока 3, и закрыта она не вообще: таблица различает только то, что различает язык связок. Рассуждение «все люди смертны, Сократ есть человек, значит Сократ смертен» она объявляет неправильным, и в своих границах она права, ведь связки в этом переходе ни при чём. Следование там держится на устройстве внутри высказываний, и его видит только модуль V.
Термины
- правильный аргументvalid argument
- Аргумент, для которого невозможен случай, где все посылки истинны, а заключение ложно. Свойство формы: проверяется без всякого знания о предмете.
- контрпримерcounterexample
- Случай, в котором все посылки аргумента истинны, а заключение ложно. Одного достаточно, чтобы показать отсутствие следования. Правдоподобие от него не требуется.
- строка-провалcounterexample row
- Строка таблицы, в которой все посылки истинны, а заключение ложно. Тот же контрпример, найденный перебором, а не воображением. Одной такой строки достаточно, чтобы следования не было.
- семантическое следованиеsemantic entailment
- Знак ⊨: слева посылки, справа заключение, читается «влечёт». Означает ровно одно: в таблице нет строки, где все посылки истинны, а заключение ложно.
- modus ponensmodus ponens
- Форма: из «если A, то B» и «A» получаем «B». Правильна: подстановки с истинными посылками и ложным заключением для неё не существует.
- modus tollensmodus tollens
- Форма: из «если A, то B» и «не B» получаем «не A». Правильна: если следствие не выполнилось, посылка выполниться не могла.
- подтверждение следствияaffirming the consequent
- Форма: из «если A, то B» и «B» получаем «A». Неправильна: опровергается подстановкой «если это кот, то это млекопитающее. Собака есть млекопитающее. Значит, собака есть кот».
- отрицание антецедентаdenying the antecedent
- Форма: из «если A, то B» и «не A» получаем «не B». Неправильна: проваливается в строке, где A ложно, а B истинно, то есть в той же самой, что и подтверждение следствия.
- дизъюнктивный силлогизмdisjunctive syllogism
- Форма: из «A или B» и «не A» получаем «B». Правильна: строк, где обе посылки истинны, ровно одна, и заключение в ней истинно.
Практикум · Проверить три чужих довода таблицей
Нужны три довода со словом «значит», взятые из переписки, новостей или разговора. Годятся любые, лишь бы простых высказываний в каждом было не больше трёх. Работа занимает минут пятнадцать и даёт проверяемый результат: по каждому доводу либо строка-провал, либо доказательство.
- Выпишите довод столбиком: посылки, потом заключение. Составьте ключ перевода: каждому простому высказыванию своя буква.
- Запишите каждую посылку и заключение формулой и проверьте перевод правилом урока 5: попробуйте назвать случай, в котором исходная фраза и формула расходятся по истинности. Нашли такой случай, значит чинить надо запись, а не таблицу.
- Постройте таблицу. Столбцов должно быть по одному на посылку и один на заключение, промежуточные считайте отдельно.
- Вычеркните все строки, где хотя бы одна посылка ложна. Из оставшихся посмотрите заключение в каждой.
- Запишите итог одной фразой. Если провальная строка нашлась, переведите её по ключу на русский и придумайте, как такой случай выглядит в жизни. Если не нашлась ни одна, напишите: «строк-провалов нет, аргумент правильный», и отметьте, что это доказательство, а не неудача поиска.
Вопросы для самопроверки
В таблице аргумента восемь строк. В шести заключение истинно, в одной все посылки истинны при ложном заключении. Что это значит?
- Аргумент почти правильный: провальная строка одна из восьми
- Ничего нельзя сказать, пока не проверена истинность посылок в действительности
- Аргумент правильный, потому что благополучных строк большинство
- Следования нет: одной провальной строки достаточно
«Если шёл дождь, асфальт мокрый. Дождя не было. Значит, асфальт сухой». В какой строке провал?
- Дождь шёл, асфальт мокрый: именно здесь заключение о сухом асфальте и рушится
- Дождя не было, асфальт мокрый: например, ночью прошла поливальная машина
- Дождь шёл, асфальт сухой
- Провала нет, аргумент правильный: дождя не было, а значит и мокрым асфальту взяться неоткуда
Что утверждает запись «P ∨ Q, ¬P ⊨ Q»?
- Что в таблице нет строки, где обе посылки истинны, а Q ложно
- Что Q истинно в действительности, раз запись принята и посылки выписаны
- Что P и Q не могут быть истинными одновременно: иначе ¬P была бы ложна
- Что Q можно вывести из посылок по правилам за конечное число шагов
Почему полная таблица доказывает правильность, а получасовой безуспешный поиск контрпримера не доказывает?
- Потому что таблицу считает машина, а человек в поиске устаёт и ошибается: разница в надёжности исполнителя
- Потому что таблица проверяет и истинность посылок тоже
- Потому что строк ровно 2ⁿ, они выписаны заранее и кончаются, а поиск в воображении не кончается сам
- Разницы нет: полчаса поиска дают ту же уверенность, что и таблица
Строка, в которой одна из посылок ложна, а заключение ложно. Что с ней делать при проверке?
- Считать её половиной провала
- Записать как контрпример: заключение в ней ложно, а этого для провала довольно
- Проверить, нельзя ли исправить посылку так, чтобы строка стала благополучной
- Не рассматривать: правильность о таких строках ничего не утверждает
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- Тренажёр «Проверка следования» на этой странице: Восемь готовых аргументов, включая все четыре формы этого урока. Ответ надо давать до подсчёта: тренажёр специально устроен так, чтобы расхождение между догадкой и таблицей было видно.
- forall x: Calgary, гл. 12 «Semantic concepts»: Особенно полезны упражнения, где заранее не сказано, правилен аргумент или нет: угадывать бесполезно, приходится считать.
- Тренажёр «Контрпример» из урока 3: Стоит вернуться и проверить таблицей те аргументы, где контрпример тогда не нашёлся. Часть из них правильные, и это теперь можно доказать, а не предположить.