Тавтология и противоречие
Три вида высказываний, которые различает один взгляд на столбец
Тавтология истинна при любых значениях переменных, противоречие ложно при любых, а всё остальное относится к выполнимым высказываниям. Из противоречия логически следует что угодно, и этот принцип называется ex falso quodlibet. Различаются все три вида одним взглядом на итоговый столбец таблицы истинности.
forall x: Calgary, гл. 12 «Semantic concepts». О. де Морган, «Формальная логика», 1847 · 23 мин · обновлено 06.09.2026
После урока вы сможете
- Различать тавтологию, противоречие и выполнимое высказывание по столбцу
- Проверять равнозначность двух формулировок совпадением столбцов
- Правильно отрицать «и» и «или» по законам де Моргана
- Объяснять, почему из противоречия следует что угодно, и почему это не поломка
Синоптик заканчивает выпуск словами: «Завтра либо будет дождь, либо не будет». Придраться тут не к чему, и ошибиться он не может никак, а пользы от сказанного ровно ноль. Теперь другая сцена. На двери магазина висят два объявления: верхнее обещает «Работаем круглосуточно», а нижнее предупреждает «Закрываемся в 20:00».
Тут всё наоборот: сказано вполне содержательно, вот только выполнить это нельзя ни при какой погоде и ни при каком директоре. Две странности, и они противоположные: первую фразу нельзя опровергнуть, вторую нельзя выполнить. Есть и третий, самый обычный случай: «завтра пойдёт дождь и будет холодно», а такое бывает и не бывает, как повезёт. Три вида высказываний различаются не на слух и не по смыслу, а по столбцу. Взгляд на столбец занимает одну минуту.
Три вида по столбцу
Начнём с прогноза. Пусть D обозначает «завтра пойдёт дождь». Тогда прогноз записывается так: D ∨ ¬D, а читается эта запись «пойдёт дождь или не пойдёт». Буква одна, значит строк две.
D | ¬D D∨¬D
И | Л И
Л | И И
Итоговый столбец состоит из одних И, а это значит, что высказывание истинно в каждой строке, то есть при любом положении дел. Такое высказывание называется тавтологией. Теперь вывеска: пусть R обозначает «магазин открыт в девять вечера», тогда круглосуточная работа означает R, а закрытие в восемь означает ¬R. Оба объявления вместе дают R ∧ ¬R, а читается это так: магазин в девять вечера и открыт, и не открыт.
R | ¬R R∧¬R
И | Л Л
Л | И Л
Столбец из одних Л: высказывание ложно в каждой строке, то есть при любом положении дел. Такое высказывание называется противоречием. И третий случай. Фраза «Завтра пойдёт дождь и будет холодно» записывается как D ∧ C, где C обозначает «завтра будет холодно», а читается запись так: пойдёт дождь и будет холодно. В столбце будет одна И и три Л: истинно, когда сбылось и то, и другое.
Если есть хотя бы одна И, высказывание называют выполнимым, и к этому виду относится почти всё, что люди говорят: истинность зависит от того, каков мир. Заметьте, что проверка одинаковая во всех трёх случаях: считается столбец, а потом на него смотрят. Ни вкуса, ни спора, ни знания погоды не требуется.
В обычной речи тавтология звучит упрёком: «масло масляное», сказано дважды одно и то же. В логике это не упрёк, а свойство столбца, и повтора в нём может не быть вовсе. «Завтра пойдёт дождь или не пойдёт» ничего не повторяет: там два разных высказывания, соединённых «или». Тавтологией фразу делает столбец из одних И, а не похожесть слов.
Зачем эти три имени нужны
Имена не для красоты: каждое из трёх свойств немедленно что-то говорит про аргументы. Тавтология в заключении. В уроке 2 было сказано: аргумент, чьё заключение истинно всегда, правилен при любых посылках. Теперь видно, почему: строка-провал требует ложного заключения, а ложным оно не бывает ни в одной строке. Провалу негде поместиться.
Противоречие в посылках. Это разберём подробно ниже: из таких посылок следует что угодно.
Выполнимость набора посылок. Вопрос «уживаются ли эти условия вместе» сводится к тому, есть ли строка, где все они истинны, и ровно этим мы занимались в уроке 7, разбирая спор о дежурстве. Отсюда, кстати, полезный приём для житейских споров: прежде чем разбирать чужие доводы, стоит проверить, совместимы ли требования, которые человек выставил. Иногда работа на этом и кончается.
Одинаковые столбцы
Аня и Боря должны были прийти на встречу, и вам говорят: «Неверно, что пришли оба». И вторая фраза, из другого разговора: «Аня не пришла или Боря не пришёл». На слух это разные сообщения: первое говорит про пару, второе про каждого по отдельности, и второе к тому же звучит менее определённо. Запишем и сравним. Первое даёт ¬(A ∧ B), читается: неверно, что оба. Второе даёт ¬A ∨ ¬B, читается: хотя бы один из двоих не пришёл.
A B | ¬(A∧B) ¬A∨¬B
И И | Л Л
И Л | И И
Л И | И И
Л Л | И И
Столбцы совпали во всех четырёх строках. Не похожи, не близки, а совпали. Когда два высказывания принимают одно и то же значение в каждой строке, они логически эквивалентны. Проще говоря, это одно и то же сообщение, сказанное двумя способами. Такая пара взаимозаменима. Где годится одна формулировка, там годится и другая: ни один аргумент от замены не станет правильным и ни один не сломается.
Одну такую пару мы уже видели и оставили без имени. В уроке 7 у Ани было три условия на дежурство, и первое из них (A → ¬B, «если Аня вышла, то Боря не вышел») оказалось лишним при третьем, ¬(A ∧ B), «неверно, что вышли оба». Столбцы у них там совпали во всех четырёх строках. Теперь понятно почему: это одно требование, записанное дважды. Такие повторы стоит вылавливать заранее: считать лишний столбец не вредно, но и не нужно.
Есть и вторая пара того же рода. Фраза «Ни Аня, ни Боря не пришли» записывается как ¬(A ∨ B), читается: неверно, что пришёл хоть кто-то. А «Аня не пришла, и Боря не пришёл» записывается как ¬A ∧ ¬B. На слово это принимать незачем, вторая пара считается так же быстро.
A B | ¬(A∨B) ¬A∧¬B
И И | Л Л
И Л | Л Л
Л И | Л Л
Л Л | И И
Слева: «или» ложно только в последней строке, отрицание переворачивает столбец в Л Л Л И. Справа: «и» истинно только там, где истинны обе части, а ¬A и ¬B вместе истинны тоже только в последней строке. Столбцы совпали во всех четырёх строках, и второй закон доказан наравне с первым. Обе пары называются законами де Моргана. Огастес де Морган был английским математиком (1806-1871), но сами законы были известны и раньше: их знал, в частности, Уильям Оккам в четырнадцатом веке.
Разбор по шагам: доказательство закона де Моргана
Разберём медленно, откуда взялся каждый столбец в таблице выше. Ни один шаг не пропущу.
Шаг 1. Строки. Разных букв две, значит строк четыре. Выписываем их все.
Шаг 2. Столбец A ∧ B. «И» истинно, когда истинны обе части. Это только первая строка.
Шаг 3. Столбец ¬(A ∧ B). Отрицание берёт готовый столбец шага 2 и переворачивает его: Л, И, И, И.
Шаг 4. Столбцы ¬A и ¬B. Переворачиваем каждую букву по отдельности. У ¬A выходит Л, Л, И, И. У ¬B выходит Л, И, Л, И.
Шаг 5. Столбец ¬A ∨ ¬B. «Или» ложно только там, где обе части ложны. Обе части ложны в первой строке, и больше нигде. Значит, столбец: Л, И, И, И.
Шаг 6. Сравнение. Ставим рядом столбец шага 3 и столбец шага 5 и идём по строкам. Л и Л. И и И. И и И. И и И. Совпало везде.
Шаг 7. Вывод. Строк всего четыре, и все четыре просмотрены. Значит, совпадение не случайность и не пример, а доказательство. Седьмой шаг и есть то, ради чего затевался весь модуль: мы не показали, что «обычно совпадает», а показали, что расхождению негде взяться.
Самая полезная строчка урока
Законы де Моргана нужны не логике, а вам, и притом ежедневно. Они отвечают на вопрос: как правильно отрицать «и» и «или».
Правило первое: «неверно, что оба» равно «хотя бы один не».
Правило второе: «ни то, ни другое» равно «не то и не это».
Первое правило нарушают постоянно: отрицая «и», люди отрицают обе части сразу. Один говорит: «Фильм умный и смешной». Другой отвечает: «Неправда». Что именно он этим сказал?
Он сказал: подвело хотя бы одно. Может быть, фильм умный, но не смешной. Может быть, смешной, но глупый. Может быть, ни то ни другое. А слышат обычно самое сильное из трёх: фильм глупый и несмешной, и спорят дальше уже не о том.
То же самое в требованиях. Если сказано «нужен человек с опытом и с английским» и неверно, что нашли такого, значит, не хватило чего-то одного, а не всего сразу. То же в обещаниях: «приеду и привезу», и обещание нарушено, если не приехал или приехал без обещанного. Проверка занимает секунду, и её стоит довести до привычки, так что, услышав отрицание фразы с «и», спросите себя: точно ли отрицаются обе части, или достаточно одной? В логике ответ всегда один: достаточно одной.
Тот же разрыв есть у слов «все» и «некоторые», и ошибаются там ещё чаще. «Неверно, что все сдали» означает «кто-то не сдал», а вовсе не «все не сдали». Таблицами это не проверить: язык связок внутрь высказывания «все сдали» не заглядывает. Аппарат для этого появится в модуле V, а само правило устроено точно так же, как разобранное здесь.
Из противоречия следует что угодно
Теперь самое неуютное место курса: в уроке 2 оно было объявлено, здесь его будет видно. Аргумент: «Идёт дождь. Дождя нет. Значит, Луна сделана из сыра». Ощущение от него однозначное: это издевательство, между посылками и заключением нет ничего общего. Тем не менее аргумент правильный, и проверим его таблицей, как всякий другой. Пусть P обозначает «идёт дождь», а Q обозначает «Луна сделана из сыра». Посылками служат P и ¬P, где второе читается «неверно, что идёт дождь», а заключением служит Q.
P Q | P ¬P | Q
И И | И Л | И
И Л | И Л | Л
Л И | Л И | И
Л Л | Л И | Л
Ищем строки, где истинны обе посылки, и таких строк нет ни одной: где P истинно, ¬P ложно, и наоборот. А раз нет строк с истинными посылками, то нет и строки-провала, ведь провал требует, чтобы посылки были истинны все до одной. Строки-провала нет, значит, аргумент правильный, по определению из урока 2, дословно, без всяких оговорок. И заметьте: столбец заключения в проверке не участвовал вовсе, поэтому на месте Q может стоять что угодно. Луна из сыра, курс рубля, что вам угодно.
Это называется ex falso quodlibet, по-латыни «из ложного что угодно».
То же самое шагами, без таблицы
Таблица показала, что так есть. Она не показала, как до этого дойти рассуждением. Пройдём вторым путём.
Шаг 1. Дано: «идёт дождь». Дано: «дождя нет».
Шаг 2. Из «идёт дождь» получаем «идёт дождь или Луна из сыра». Ход законный: «или» истинно, когда истинна хотя бы одна часть, а первая часть у нас есть.
Шаг 3. Берём второе данное: «дождя нет». Шаг 4. Имеем «идёт дождь или Луна из сыра» и «дождя нет». Первая возможность отпала, остаётся вторая: Луна из сыра. Это дизъюнктивный силлогизм, разобранный в уроке 8.
Шаг 5. Готово. Заключение получено.
Перечитайте шаги по одному. Каждый в отдельности возражений не вызывает: оба хода вы делаете в разговоре не задумываясь. А вместе они дают результат, который кажется дикостью, и в этом вся история: дикость получена не отдельным диким правилом, а сложением двух безобидных.
Такого правила нет. Никто его не вводил и не постулировал. Результат получается двумя разными путями (из определения правильности и из обычных ходов с «или»), и оба пути мы прошли выше. Убрать его, оставив всё остальное на месте, не выйдет: придётся отказаться от одного из шагов, а они оба выглядят безобидно. Именно этим и заняты релевантные логики.
Кому это не нравится и что с этим делают
Недовольство здесь законное и старое. Раздражает не счёт, а то, что посылки и заключение никак не связаны по существу. С 1960-х годов Андерсон и Белнап строят релевантные логики: системы, где такой переход запрещён, а от посылок требуется отношение к заключению по смыслу.
Плата видна прямо из наших пяти шагов. Чтобы цепочку разорвать, надо отказаться от шага 2 или от шага 4. Оба хода привычны, и без них меняется многое. Счёт целиком показывает урок 23, а пока достаточно знать: недовольство ex falso не наивность, а позиция, у которой есть разработанная альтернатива и известная цена.
Есть и практический вывод, который никакой альтернативы не требует: противоречие в собственных посылках не мелкая неряшливость. Набор посылок, содержащий противоречие, доказывает всё подряд, а значит, не доказывает ничего: доказательство, которое годится для любого вывода, не отличает верный вывод от неверного. Поэтому проверка «нет ли среди моих посылок пары, которая не может быть истинной вместе» будет не педантизмом, а первым, что стоит делать с длинным списком требований.
Что дальше
Модуль III закончен: мы умеем считать сложное высказывание, проверять следование и различать три вида высказываний по столбцу. Всё это делается перебором, и у перебора есть цена: три буквы дают восемь строк, десять букв дают тысячу двадцать четыре, а двадцать уже больше миллиона. Модуль IV предлагает другой путь: не перебирать случаи, а идти от посылок к заключению маленькими надёжными шагами. Такой путь называется выводом, и его можно предъявить, проверить и оспорить, в отличие от ответа «да», который выдаёт таблица. Урок 10 начинается ровно с этого счёта строк.
Откуда это и кто доказал
| Огастес де Морган, «Формальная логика» | 1847 | Работа, по автору которой названы правила отрицания «и» и «или». Сами правила были известны раньше: их знал, в частности, Уильям Оккам в четырнадцатом веке. |
| A. R. Anderson, N. D. Belnap, «Entailment: The Logic of Relevance and Necessity» | 1975 | Программа релевантной логики: систематический отказ от вывода произвольного заключения из противоречия ценой пересмотра части правил вывода. |
Ловушки и теоремы
Естественное чтение отрицает обе части сразу, и оно неверно. По закону де Моргана «неверно, что оба» равно «хотя бы один не»: достаточно, чтобы подвело одно. Столбцы ¬(A ∧ B) и ¬A ∨ ¬B совпадают во всех четырёх строках, а столбец ¬A ∧ ¬B с ними расходится в двух.
Отдельного правила такого вида нет, и никто его не вводил. Результат получается двумя независимыми путями: из определения правильности (строк с истинными посылками не существует, значит нет и строки-провала) и из двух обычных ходов с «или». Чтобы его убрать, приходится отказаться от одного из этих ходов, и этим заняты релевантные логики.
В речи тавтология звучит упрёком в пустом повторе, «масло масляное». В логике это свойство столбца: высказывание истинно во всех строках. Повтора при этом может не быть вовсе: «завтра пойдёт дождь или не пойдёт» составлено из двух разных высказываний. Общее у двух смыслов только одно: и там и там сказанное ничего не сообщает о мире.
Доказано просмотром, а не примером: букв две, строк четыре, оба столбца посчитаны по шагам и совпали во всех четырёх строках. Ровно поэтому седьмой шаг разбора говорит «расхождению негде взяться», а не «обычно совпадает». Условием служит двузначность: значений истинности два, и значение целого считается по значениям частей. Вне этого условия равносильность не обещана сама собой, и системы урока 23 приходится проверять заново. Имя закрепилось за де Морганом («Формальная логика», 1847), хотя сами равенства знали раньше, например Оккам в XIV веке.
Термины
- тавтологияtautology
- Высказывание, истинное во всех строках таблицы, то есть при любом положении дел. Пример: «идёт дождь или не идёт». Аргумент с тавтологией в заключении правилен при любых посылках.
- противоречиеcontradiction
- Высказывание, ложное во всех строках таблицы. Пример: «магазин открыт и не открыт». Выполнить или сделать истинным его нельзя ни при каком положении дел.
- выполнимое высказываниеsatisfiable sentence
- Высказывание, истинное хотя бы в одной строке таблицы. Таково почти всё, что люди говорят: истинность зависит от того, каков мир.
- логическая эквивалентностьlogical equivalence
- Совпадение столбцов у двух высказываний: в каждой строке они принимают одно и то же значение. Такая пара взаимозаменима, и ни один аргумент от замены не меняется.
- законы де МорганаDe Morgan's laws
- Два правила отрицания связок: «неверно, что оба» равно «хотя бы один не», «ни то, ни другое» равно «не то и не это». Доказываются таблицей в четыре строки.
- ex falso quodlibetex falso quodlibet
- Из противоречивых посылок следует любое заключение. Не отдельное правило, а следствие определения правильности: строк, где все посылки истинны, не существует, значит нет и строки-провала.
- логическая истинаlogical truth
- Высказывание, истинное при любом положении дел: «идёт дождь или не идёт дождь». Аргумент с таким заключением правилен при любых посылках.
- противоречивые посылкиinconsistent premises
- Набор посылок, который не может быть истинным целиком ни при каком положении дел. Аргумент с такими посылками правилен при любом заключении.
Практикум · Отрицать вслух
Упражнение на десять минут, и оно про речь, а не про формулы. Нужны пять фраз со словами «и» или «или»: из переписки, из требований к вакансии, из условий акции, из чужого обещания. Задача в том, чтобы научиться отрицать их точно, а не сильнее, чем следует.
- Выпишите пять фраз дословно и подчеркните в каждой связку: «и» или «или».
- Для каждой фразы напишите отрицание так, как оно просится на язык, не думая о правилах. Это ваша черновая версия, и она нужна для сравнения.
- Теперь примените правило. Для «и»: неверно, что оба, значит, хотя бы одно не. Для «или»: неверно, что хоть одно, значит, ни то ни другое.
- Сравните обе версии. Отметьте те фразы, где черновое отрицание оказалось сильнее правильного. Это и есть ваша типичная ошибка.
- Возьмите одну фразу и проверьте её таблицей в четыре строки: столбец чернового отрицания рядом со столбцом правильного. Если совпали, черновик был верен. Если разошлись, посчитайте, в скольких строках из четырёх.
Вопросы для самопроверки
«Неверно, что Аня и Боря пришли оба». Что отсюда следует?
- Что не пришёл ни Аня, ни Боря, то есть оба остались дома
- Что хотя бы один из двоих не пришёл
- Что пришёл ровно один из двоих, а второй не пришёл
- Ничего определённого: фраза выражает сомнение, а не утверждение
Итоговый столбец высказывания состоит из одних Л. Как это называется и что это значит?
- Тавтология: высказывание не несёт сведений о мире
- Выполнимое высказывание с редко наступающим условием
- Ошибка в подсчёте: столбец не бывает одноцветным
- Противоречие: высказывание ложно при любом положении дел
Почему из «идёт дождь» и «дождя нет» правильно следует «Луна сделана из сыра»?
- Потому что противоречие ложно, а из лжи разрешено выводить что угодно особым правилом
- Потому что заключение в таком аргументе не проверяется
- Потому что строки, где истинны обе посылки, не существует, значит нет и строки-провала
- Потому что заключение про Луну ложно, а ложное следует из ложного
Что означает логическая эквивалентность двух высказываний?
- Их столбцы совпадают во всех строках таблицы
- Они составлены из одних и тех же букв
- Они одновременно являются тавтологиями
- Из первого следует второе, но не наоборот
«Завтра будет дождь или не будет». Что это за высказывание?
- Выполнимое: в одной строке таблицы оно истинно, в другой ложно, и всё решает завтрашняя погода
- Тавтология: истинна в каждой строке и потому ничего не сообщает о завтрашней погоде
- Противоречие: два взаимоисключающих прогноза стоят рядом, а вместе они сбыться не могут
- Не высказывание вовсе: его нельзя проверить
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- forall x: Calgary, гл. 12 «Semantic concepts»: Задания на эквивалентность приучают сравнивать столбцы, а не формулировки. А это ровно то место, где урок просит верить на слово меньше всего.
- Статья «Relevance Logic» в Stanford Encyclopedia of Philosophy: Подробный разбор того, что именно не устраивает в ex falso и чем приходится платить за отказ от него. Читать лучше после урока 23, где сравниваются несколько неклассических систем сразу.
- Тренажёр «Таблица истинности» из урока 7: Вводите формулы и смотрите вердикт внизу: он прямо называет тавтологию и противоречие. Стоит проверить <code>P → P</code>, <code>P ∨ ¬P</code>, <code>P ↔ ¬¬P</code> и убедиться, что столбцы у всех трёх одинаковые.