Тождество и определённые описания
Как записать число, не имея в языке ни одного числа
Тождество «=» это предикат «быть одним и тем же объектом». С ним записываются «ровно один» и «не более двух», то есть числа без чисел в языке. Определённым описанием называют оборот «тот самый F». По Расселу он разворачивается в утверждение существования и единственности.
forall x: Calgary, гл. 25 «Identity» и гл. 27 «Definite descriptions» · 26 мин · обновлено 06.09.2026
После урока вы сможете
- Отличать тождество от сходства и от обычного предиката
- Записывать «хотя бы два», «не больше одного» и «ровно один» через ∃, ∀ и знак =
- Понимать, почему разные буквы не означают разных предметов
- Разбирать обороты «тот самый» и видеть в них утверждение о существовании и единственности
Утром на востоке видна яркая звезда. Вечером на западе тоже видна яркая. Долго считали, что светил два, и у каждого было своё имя: утренняя звезда и вечерняя звезда. Потом выяснилось, что это одно и то же светило, планета Венера.
Фраза «утренняя звезда есть вечерняя звезда» выглядит как пустое «A есть A», а на деле это открытие, за которое кто-то платил годами наблюдений. Разгадка в том, что имён два, а предмет один. Такое бывает сплошь и рядом, и логике для этого нужен отдельный знак.
Случай далеко не единичный. У человека бывает паспортное имя, прозвище и ник в сети, у города бывает старое название и новое.
И каждый раз возникает один и тот же вопрос: перед нами два предмета или один? Заодно выяснится неожиданное: с этим знаком язык научится считать, не имея внутри ни единого числа.
Знак = и чем он не предикат
Записывают так: a = b. Читается: «a и b есть один и тот же предмет». Слово «равно» тут сбивает с толку, потому что речь не о равенстве величин и не о сходстве.
Два одинаковых стула не пример тождества. Их два. Тождество возникает там, где предмет один, а имён или описаний у него несколько. Вот кот, которого дома зовут Мурзиком, а в ветклинике записали Барсиком: кличек две, кот один.
Чем же = отличается от обычного предиката? Предикат приписывает предмету свойство. Запись Красный(a) означает «a красный». Тождество не приписывает ничего, а сообщает, что перед нами не два предмета, а один. Отсюда важное следствие: значение предиката «красный» задают в модели, перечисляя, какие предметы красные, а значение знака = не задают никогда, потому что во всякой модели он значит одно и то же.
Поэтому у тождества есть правила, работающие всегда, при любой модели. Первое: всякий предмет тождествен себе. Запись ∀x (x = x) читается: «для всякого x верно, что x есть тот же предмет, что x», и это логическая истина. Ложной она не бывает никогда.
Второе: если a = b, то всё, что верно про a, верно и про b, потому что имя поменялось, а предмет остался прежним. Это правило называют заменой тождественного. И сразу видно, чем ценна утренняя звезда. Запись a = a не сообщает ничего, а запись a = b с двумя разными именами сообщает многое, потому её и приходится добывать наблюдением. Можно спросить: а нельзя ли обойтись без нового знака, завести обычный двухместный предикат «тот же самый» и дело с концом?
Нельзя, и причина поучительная.
Значение обычного предиката задаёт модель. Ничто не мешает ей объявить «теми же самыми» два разных предмета: предикат как предикат, что хотим, то и вписываем.
А тогда рухнет правило замены: из «a тот же самый, что b» перестанет следовать, что верное про a верно и про b. Чтобы этого не случилось, знак = выводят из-под власти модели и делают частью самого языка. Он не про мир, а про то, как мы о мире говорим.
В обычной речи есть обороты, куда правило замены не проходит. «Аня не знает, что вечерняя звезда есть Венера» истинно, а «Аня не знает, что Венера есть Венера» ложно, хотя предмет один и тот же. Дело в том, что «Аня знает, что …» смотрит не только на предмет, но и на то, как он назван. Классическая логика этого курса такие обороты не описывает. Ими занимается эпистемическая логика, устроенная как модальная: вместо «необходимо, что P» читают «известно, что P». Урок 23 разбирает модальную и называет эту родню отдельно.
Считать без чисел
Теперь неожиданное применение: с одним знаком = язык логики умеет считать, хотя чисел в нём нет. Начнём с простого. Формула «Есть хотя бы один круг» записывается как ∃x Круг(x) и читается: «найдётся x, который круг». А вот «Есть хотя бы два круга» ставит первую ловушку, и в неё попадают почти все. Напрашивается запись ∃x∃y (Круг(x) ∧ Круг(y)), то есть «найдутся x и y, оба круги». Проверим её на модели из одного-единственного круга a. Разберём по шагам.
Шаг 1. Берём x = a. Проверяем Круг(a): истинно.
Шаг 2. Берём y = a. Проверяем Круг(a): снова истинно.
Шаг 3. Оба требования выполнены. Значит, вся формула истинна.
Шаг 4. А кругов на столе один.
Шаг 5. Значит, эта запись выражает не «хотя бы два», а «хотя бы один».
Причина в правиле, которое стоит запомнить дословно: разные буквы не обязаны означать разные предметы. Ничто не мешает переменным x и y указать на одно и то же: квантор ∃ говорит «найдётся», а не «найдётся другой». Чтобы вышло настоящее «хотя бы два», различие надо потребовать вслух: ∃x∃y (Круг(x) ∧ Круг(y) ∧ x ≠ y). Читается: «найдутся два предмета, оба круги, и это не один и тот же предмет». Знак ≠ есть сокращение для ¬(x = y). Читается: «x и y обозначают разные предметы».
Ловушка эта не случайная, а системная. Она вылезает всякий раз, когда под кванторами существования стоит больше одной переменной. Проверка такая. Спросите себя: выполнится ли формула, если подставить всюду один и тот же предмет? Если выполнится, а по смыслу не должна, значит не хватает знака ≠.
Не больше одного и ровно один
«Кругов не больше одного» устроено иначе, и квантор тут нужен другой. Запись ∀x∀y ((Круг(x) ∧ Круг(y)) → x = y) читается: «если оба предмета круги, то это один и тот же предмет». Обратите внимание: утверждение истинно и тогда, когда кругов нет вовсе. Ноль тоже подходит под «не больше одного». Это знакомая по уроку 15 пустая истинность, только под двумя кванторами.
«Ровно один круг» получается сложением двух требований: хотя бы один и не больше одного. Есть запись покороче, и она стоит того, чтобы разобрать её медленно: ∃x (Круг(x) ∧ ∀y (Круг(y) → y = x)). Читается: «найдётся круг, и всякий круг есть он же». Проверим её на столе из урока 15, где предмет a есть красный круг, b есть квадрат, c есть жёлтый круг.
Шаг 1. Пробуем x = a. Круг(a) истинно, первое требование выполнено.
Шаг 2. Проверяем второе: всякий ли круг есть a?
Шаг 3. Берём c. Круг(c) истинно, а «c = a» ложно: это разные предметы.
Шаг 4. Требование провалилось, предмет a не подошёл.
Шаг 5. С предметом c будет то же самое, а квадрат b отсеется на первом требовании. Кандидаты кончились: формула ложна, кругов два.
Уберём со стола предмет c, и формула станет истинной, не изменившись ни одним значком. «Ровно два» строится так же и записывается длиннее, а смысл прежний: два разных круга есть, и всякий круг есть один из этих двух.
Формально это ∃x∃y (Круг(x) ∧ Круг(y) ∧ x ≠ y ∧ ∀z (Круг(z) → (z = x ∨ z = y))). Читается: «найдутся два круга, и это разные предметы, и всякий круг есть либо первый из них, либо второй».
Дальше запись растёт быстро, и это нормально: язык не создавался для арифметики. Важно другое. Числа в нём выражаются вообще. И заметьте, из чего они собраны: только из «найдётся», «для всякого», связок и знака =. Ни одной цифры.
Тот самый
Есть обороты, которые обещают предмет и заодно обещают, что он один: «тот самый», «единственный», «нынешний король Франции». Их называют определёнными описаниями. Внешне описание похоже на имя: и то и другое указывает на предмет. Разница в том, что имя только указывает, а описание вдобавок утверждает.
Бертран Рассел предложил разбор, которым логика пользуется до сих пор. Фраза «Нынешний король Франции лыс» несёт не одно утверждение, а три сразу. Король Франции есть. Он один. Он лыс.
Формально это записывается так: ∃x (Король(x) ∧ ∀y (Король(y) → y = x) ∧ Лыс(x)). Читается: «найдётся король, всякий король есть он же, и он лыс». Короля Франции нет, поэтому первое из трёх утверждений ложно, а значит, ложно и всё вместе.
Не «бессмысленно», не «ни истинно, ни ложно». Просто ложно.
И тут немедленно возвращается урок 16: фраза «неверно, что нынешний король Франции лыс» имеет два чтения, и они не совпадают. Первое: неверно, что существует единственный король и он лыс. Отрицание стоит снаружи, и это утверждение истинно.
Второе: существует единственный король, и он не лыс. Отрицание залезло внутрь, под квантор, и это утверждение ложно. Русская фраза разницы не показывает, а запись показывает. Вся разница в том, где стоит отрицание относительно квантора.
Разница между именем и описанием видна как раз на пустом месте. Имя «Пегас» ни на кого не указывает, и что делать с фразой «Пегас крылат», непонятно: указывать не на кого, а фраза сказана. С описанием такой беды нет. Оно разворачивается в утверждение о существовании, а утверждение о существовании бывает просто ложным.
В этом и был смысл разбора. Описания перестают быть именами и становятся утверждениями, у которых всегда есть ответ. Разбор Рассела не единственный возможный, и спорят о нём до сих пор. Вопрос в том, что происходит с фразой, чьё описание ни на кого не указывает. Этот спор ведёт философия языка, и курс философии его разбирает.
Зачем это нужно на практике
Тождество кажется мелочью, но без него не записать почти ни одного обычного требования. Возьмём «У каждого человека ровно одна биологическая мать». Тут «ровно одна» несёт всю суть, и без знака = этого не выразить. «В списке нет повторов» означает «если две записи совпали, то это одна и та же запись».
«Победитель один» есть та же конструкция единственности. «Кроме Ани, никто не пришёл» означает «Аня пришла, и всякий пришедший есть Аня».
«Не более трёх попыток» устроено так же, только длиннее: среди любых четырёх попыток две окажутся одной и той же. Стоит заметить, как часто это встречается: почти в каждом договоре и в каждой инструкции есть либо «ровно», либо «единственный», либо «не более».
Язык первого порядка с тождеством и берут за стандартный: на нём записывают аксиомы и определения в математике. Обратите внимание, чего в этом языке по-прежнему нет. Ни чисел, ни множеств, ни арифметики. Есть предметы, предикаты, связки, кванторы и знак =. Из этого набора «ровно один» собирается, и в этом весь фокус.
Что дальше
Модуль V закончен, и язык построен целиком: имена, предикаты, отношения, переменные, два квантора, тождество. На нём записывается почти любое утверждение обычной речи, кроме приказов, вопросов и оборотов «если бы». Дальше начинается вопрос, на который сам язык ответить не может. Что эта система умеет и чего не умеет?
Урок 18: корректность и полнота, два разных обещания, которые постоянно путают. Урок 19: теоремы Гёделя, а отдельно длинный список того, что им приписывают напрасно. Урок 20: разрешимость. Для логики высказываний машина справляется всегда. Для логики предикатов общего способа нет, и это доказано.
Откуда это и кто доказал
| Готлоб Фреге, «Begriffsschrift» | 1879 | Кванторы и переменные. Без них не записать ни «ровно один», ни «тот самый»: обе конструкции собираются из ∃, ∀ и тождества, и другого способа выразить их без чисел нет. |
| А. Уайтхед, Б. Рассел, «Principia Mathematica» | 1910 | Трёхтомник, выходивший с 1910 по 1913 год. Определённые описания разбираются в нём как сокращение: «тот самый F» не имя, а утверждение о существовании и единственности. |
Ловушки и теоремы
Запись ∃x∃y (Круг(x) ∧ Круг(y)) истинна на модели с единственным кругом: обе переменные спокойно указывают на него. Квантор существования говорит «найдётся», а не «найдётся другой». Чтобы получить «хотя бы два», различие требуют вслух: ∃x∃y (Круг(x) ∧ Круг(y) ∧ x ≠ y). Та же ошибка портит записи «ровно два» и «не больше двух».
Тождество не сводится ни к сходству, ни к равенству величин. Два одинаковых стула не тождественны: их два. Знак = утверждает, что предмет один, а имён или описаний у него несколько. Поэтому «утренняя звезда есть вечерняя звезда» даёт содержательное открытие, а не пустое «A есть A». Имена разные, предмет один, и узнать это можно было только наблюдением.
Это решение, принятое ради работоспособности системы. Оно нужно, чтобы у каждого предложения формального языка было значение истинности, в том числе у фраз с описанием, которое ни на кого не указывает. При таком решении «нынешний король Франции лыс» просто ложно. Возможны и другие системы, где такая фраза не получает значения вовсе. Спор об этом ведёт философия языка, а не логика.
Проверка прямая: запись ∃x (Круг(x) ∧ ∀y (Круг(y) → y = x)) прогоняется по столу из трёх предметов и оказывается ложной, когда кругов два, а после того как лишний круг убран, становится истинной, не изменившись ни одним значком. Условий два, и оба существенны. В языке должно быть тождество. Различие переменных надо требовать вслух: без x ≠ y запись «хотя бы два» выражает «хотя бы один», потому что разные буквы не обязаны означать разные предметы. Уцелела выразимость, а не удобство: длина записи растёт быстро, «ровно два» уже заметно длиннее «ровно одного», и язык для арифметики не создавался.
Термины
- тождествоidentity
- Отношение предмета к самому себе, записываемое знаком =. Утверждает не сходство, а то, что перед нами один предмет, названный дважды.
- замена тождественногоsubstitution of identicals
- Правило: если a = b, то всё верное про a верно и про b. Имя поменялось, предмет остался прежним.
- числовое утверждениеnumerical claim
- Утверждение о количестве предметов с данным свойством, записанное без чисел, только через ∃, ∀ и знак =. Примеры: «хотя бы два», «не больше одного», «ровно один».
- единственностьuniqueness
- Требование «не больше одного», записываемое как ∀x∀y ((Fx ∧ Fy) → x = y). Выполняется и тогда, когда предметов со свойством F нет вовсе.
- определённое описаниеdefinite description
- Оборот «тот самый», «единственный», «нынешний король Франции». В отличие от имени не только указывает на предмет, но и утверждает, что такой предмет есть и он один.
- предикатpredicate
- То, что говорят о предмете: «… смертен», «… красный», «… выше …». В записи стоит первым, а предметы подставляются в скобки: Смертен(сократ).
- логическая истинаlogical truth
- Высказывание, истинное при любом положении дел: «идёт дождь или не идёт дождь». Аргумент с таким заключением правилен при любых посылках.
Практикум · Восемь требований, записанных без чисел
Работа на пятнадцать минут. Возьмите восемь требований из правил, инструкций или условий конкурса, таких, где встречаются слова «ровно один», «единственный», «не более двух», «тот самый», «кроме». Задача в том, чтобы записать их формально и проверить записи на маленьких моделях.
- Выпишите требования и подчеркните в каждом слово, отвечающее за количество или за единственность.
- Назовите предикат, о котором идёт речь, и запишите отдельно две части: «хотя бы столько-то» и «не больше, чем столько-то».
- Соберите обе части в одну формулу. Там, где нужны разные предметы, поставьте x ≠ y явно. Без этого запись скажет меньше, чем вы хотели.
- Проверьте каждую запись на модели из одного предмета и на модели из двух. Отметьте, где ответ вас удивил.
- Найдите среди своих восьми хотя бы одно определённое описание и разложите его на три утверждения: предмет есть, он один, он такой-то. Отметьте, какое из трёх в вашем случае спорное.
Вопросы для самопроверки
Что означает запись a = b?
- Что a и b похожи по свойствам настолько, что различать их незачем
- Что a и b равны по величине, как два одинаковых по длине отрезка
- Что a и b принадлежат одному классу предметов: знак = для того и заведён
- Что a и b есть один и тот же предмет, названный дважды
Почему ∃x∃y (Круг(x) ∧ Круг(y)) не выражает «есть хотя бы два круга»?
- Потому что в записи не хватает квантора всеобщности
- Потому что x и y могут указывать на один и тот же предмет
- Потому что конъюнкция под «найдётся» вообще недопустима
- Потому что порядок кванторов выбран неверно
Какая запись выражает «ровно один круг»?
- ∃x Круг(x)
- ∀x∀y ((Круг(x) ∧ Круг(y)) → x = y)
- ∃x (Круг(x) ∧ ∀y (Круг(y) → y = x))
- ∃x∃y (Круг(x) ∧ Круг(y) ∧ x ≠ y)
«Нынешний король Франции лыс». Каков вердикт по разбору Рассела?
- Ложно, потому что первое из трёх утверждений («король есть») не выполняется
- Истинно по пустой истинности: королей нет, опровергать нечем
- Ни истинно, ни ложно, поскольку описание ни на кого не указывает
- Бессмысленно, поскольку в языке нет такого имени
Зачем языку отдельный знак =, если предикаты уже есть?
- Затем, что «равно» есть очень частое отношение, и отдельный знак для него удобнее, чем всякий раз выписывать двухместный предикат словом
- Затем, что тождество говорит не о свойстве, а о том, что предмет один, и на нём держатся «ровно один» и определённые описания
- Затем, что без него нельзя записать отрицание
- Затем, что обычные предикаты не бывают двухместными
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- forall x: Calgary, гл. 25 «Identity» и гл. 27 «Definite descriptions»: Там есть упражнения на «ровно два» и «не больше трёх»: длинные формулы такого рода собираются только руками. Определённым описаниям отведена отдельная глава, и разбор Рассела дан в ней целиком.
- Статья «Descriptions» в Stanford Encyclopedia of Philosophy: Разбор Рассела и возражения на него. Читать после урока и без спешки: там начинается спор о пресуппозициях, который логика не решает и решать не берётся.