Зачем формальный язык

Обычный язык слишком богат, и потому в нём не видно формы

Формальный язык логики записывает высказывания символами, и в такой записи видна только форма рассуждения, без содержания. Он нужен, потому что в естественном языке одна и та же форма прячется за разными словами, а одна фраза несёт несколько форм сразу. Перевод в символы делает проверку следования механической.

forall x: Calgary, гл. 4 «First steps to symbolization» · 22 мин · обновлено 06.09.2026

«Он видел человека с биноклем».

Кто держит бинокль? Может быть, он сам смотрел в бинокль и увидел человека. А может быть, человек шёл себе с биноклем в руках. Слова одни и те же, порядок один и тот же, а чтения два, и сама фраза между ними не выбирает.

Вот вторая: «Старые мужчины и женщины сидели на лавке». Старые все или только мужчины? Снова два чтения, снова фраза молчит. Пока чтение не выбрано, у фразы нет условий истинности: нельзя сказать, при каком положении дел она истинна, а при каком ложна.

А без этого рушится вся работа первых трёх уроков. Контрпримером называют случай, где посылки истинны, а заключение ложно, и если неизвестно, когда посылка истинна, то и искать нечего. Этот урок о том, почему обычный язык для такой работы не годится и что строят вместо него.

Четыре беды обычного языка

Бед больше четырёх, но эти встречаются постоянно. Первая: одно слово значит несколько вещей. «Ключ» бывает от двери и в лесу. «Класс» означает и комнату, и группу детей, и разряд вещей. Обстановка обычно подсказывает нужное значение, и мы почти всегда угадываем верно. Это называется многозначностью, и живёт она в отдельном слове.

Вторая: фраза собирается по-разному. Тут каждое слово однозначно, а вот что к чему относится, остаётся непонятным. Фраза «старые мужчины и женщины» даёт ровно этот случай. Это неоднозначность строения, и живёт она не в словах, а в сборке. Разницу стоит держать в голове: в первом случае спорят о значении слова, во втором спорят о том, где проходят границы куска.

Третья: услышано больше, чем сказано. Во фразе «Он выпил и сел за руль» слышится порядок во времени: сначала выпил, потом сел. В слове «и» никакого порядка нет: «сел за руль и выпил» состоит из того же самого.

Ещё пример: во фразе «некоторые студенты сдали» слышится «а некоторые не сдали», сказано же только про тех, кто сдал. Добавка, которая входит в понятое, но не входит в сказанное, называется подразумеванием. В спорах её приписывают собеседнику постоянно, а он справедливо возражает, что этого не говорил.

Четвёртая: интонация и ирония. «Ну конечно, он всё сделает» произносится так, что значит обратное сказанному. На письме этот слой исчезает целиком, и остаётся фраза, которую можно понять наоборот.

Как это ломает проверку рассуждения

Пока всё перечисленное выглядит бытовым неудобством, а бедой оно становится внутри аргумента. «Всякий закон принят людьми. Закон всемирного тяготения есть закон. Значит, закон всемирного тяготения принят людьми». Заключение оказалось чушью. Найдём поломку и не пропустим ни одного шага.

Шаг 1. Выписываем ролями. Посылка: всякий закон принят людьми. Посылка: закон всемирного тяготения есть закон. Заключение: закон всемирного тяготения принят людьми.
Шаг 2. Выписываем форму: «все A суть B; x есть A; значит x есть B».
Шаг 3. Проверяем форму. Это та самая форма, которая в уроке 2 работала на кошках. Провала у неё нет ни при какой подстановке.
Шаг 4. Форма цела, а заключение ложно. Значит, дело в словах.
Шаг 5. Смотрим на слово «закон». В посылке о людях это правило, которое кто-то установил. В посылке о тяготении это устойчивая связь в природе.
Шаг 6. Переписываем честно, разными буквами: «все A суть B; x есть C; значит x есть B». У этой формы провал строится мгновенно.

Ошибка называется подменой значения: слово одно, значений два, и весь переход держится на совпадении написания. Заметьте, что именно произошло на четвёртом шаге: форма казалась правильной ровно потому, что два разных понятия выглядели одним словом. Отсюда главный вывод урока: пока слова не закреплены за значениями, спрашивать о форме бессмысленно. Логика проверяет устройство, а устройства не видно, пока видно одно написание.

Что делает формальный язык

Лечение простое до скуки. Каждую беду закрывают отдельным правилом.

От многозначности. Каждой букве соответствует ровно одно высказывание, и соответствие выписано отдельным списком.

От неоднозначности строения. Строение задаётся скобками, и оно всегда ровно одно: «(Старые мужчины) и женщины» уже не то же самое, что «Старые (мужчины и женщины)».

От подразумеваний. У каждой связки условия истинности объявлены заранее и целиком. Чего не объявили, того в записи нет.

От интонации. Её просто нет: записанная формула читается одинаково любым голосом.

Ничего волшебного в формальном языке нет: он не умнее обычного и не богаче, он беднее, и польза именно в этом. Тут годится аналогия, и дальше по курсу они все идут с пометкой о том, где ломаются. Формальная запись относится к фразе примерно так, как чертёж к фотографии. Фотография показывает, как вещь выглядит, а чертёж показывает, как она устроена, и нарочно выбрасывает цвет, блеск и фон.

Где аналогия ломается. По чертежу вещь собирают заново, а по формуле исходную фразу не восстановить: «но», «зато» и «однако» дадут одну и ту же запись. И ещё: чертёж делают полезнее, добавляя размеры, а формальную запись делают полезнее, выбрасывая лишнее.

Атомарное и составное

Возьмём три фразы и попробуем каждую разрезать на более мелкие утверждения. «Аня дома»: резать нечего, внутри нет другого утверждения. «Аня дома, и Боря на работе» режется на два: «Аня дома» и «Боря на работе», и каждый кусок остаётся законным утверждением, каждый бывает истинным или ложным. «Неверно, что Аня дома»: внутри одно утверждение («Аня дома») и надстройка «неверно, что».

Высказывание, которое не разрезается на другие высказывания, называется атомарным, а собранное из других называется составным. Слово «атомарное» значит «неделимое», и делить его запрещено только одним способом: на высказывания. На слова и слоги оно, конечно, делится.

Теперь ловушка, в которую попадают почти все.

«Аня и Боря поженились»: союз «и» на месте, значит режем на «Аня поженилась» и «Боря поженился». Складываем обратно и получаем, что оба женаты, но, возможно, на разных людях. Смысл уехал. Значит, резать было нельзя, и высказывание атомарно.

То же самое с «Аня и Боря приходятся друг другу братом и сестрой» и с «Аня выше Бори»: тут вообще один кусок, хотя людей в нём двое. Проверка, стало быть, не по союзу, а по результату: разрежьте и сложите обратно. Если получилось то же самое, высказывание составное. Если изменилось, атомарное. Все три трудных примера для нашей логики атомарны: внутреннее устройство у них есть, но видеть его она пока не умеет.

Ключ перевода

Атомарные высказывания заменяют заглавными буквами. Какая буква что означает, пишут отдельным списком.

P: Аня дома.
Q: Боря на работе.
R: идёт дождь.

Такой список называется ключом перевода. У него три правила, и каждое лечит одну из бед. Первое. Буква сама по себе не значит ничего. Здесь P означает «Аня дома» только потому, что так написано в ключе, а в другом разборе та же самая P будет означать другое.

Второе. На одно высказывание приходится одна буква во всём разборе. Это прямое лекарство от подмены значения: два «закона» получили бы две разные буквы, и переход развалился бы сам собой. Третье. Ключ пишется до записи и по ходу не меняется. Иначе спор кончится тем, что каждый вспомнит своё.

Есть тонкость, на которой спотыкаются в первый раз почти все: буква обозначает предложение целиком, а не предмет и не человека. Писать «P: Аня» нельзя, ведь Аня не бывает истинной или ложной, а «Аня дома» бывает. Теперь возьмём составное высказывание. «Аня дома, и Боря на работе» записывается как P ∧ Q и читается ровно так же: Аня дома, и Боря на работе. Знак ∧ и остальные связки разбираются в уроке 5, а сейчас важно другое: атомарные части стали буквами, связка стала знаком, и больше в записи нет ничего.

Чего эта логика не видит

Теперь неприятное, и сказать о нём надо сразу, а не когда читатель наткнётся сам. «Все люди смертны. Сократ есть человек. Значит, Сократ смертен». Самое известное рассуждение в истории. Переведём его по нашим правилам.

«Все люди смертны». Есть тут связка? Нет ни «и», ни «или», ни «не», значит, это одно атомарное высказывание и одна буква. «Сократ есть человек» тоже буква, «Сократ смертен» тоже. Ключ выходит такой. P: все люди смертны. Q: Сократ есть человек. R: Сократ смертен.

Аргумент превращается в «P, Q, значит R»: три буквы, между которыми не осталось ничего. И следования тут нет: возьмите любые три никак не связанные утверждения, из первых двух третье не вытекает.

Получилось, что наш аппарат не берёт рассуждение, которое берёт любой человек с улицы.

Это не позор системы, а её честная граница: логика высказываний видит только связки между целыми высказываниями, а внутрь высказывания не заглядывает вовсе. Ограничение снимут в модуле V: там появятся кванторы (записи для «все» и «некоторые»), и «Все люди смертны» разберут изнутри, на людей и на смертность. До урока 14 придётся мириться. Зачем тогда возиться с бедной системой? Затем, что связки образуют скелет любого рассуждения, а кванторы позже к этому устройству добавятся, а не заменят его.

Что теряется при переводе

Формализация работает как перевод, а перевод всегда чем-то жертвует. Честно перечислим чем. Противопоставлением. «Боря сдал, но не готовился» и «Боря сдал, и не готовился» дадут одну и ту же запись, а удивление и упрёк, которые несёт «но», исчезнут.

Порядком во времени. «Он выпил и сел за руль» и «Он сел за руль и выпил» станут неразличимы.

Иронией и намёком. В записи их нет вовсе, и восстановить их из неё нельзя.

Сослагательностью. «Если бы отпустил, упало бы» этот язык не берёт. Урок 6 скажет об этом прямо и объяснит почему.

Вежливостью. Фраза «Не могли бы вы закрыть окно» вообще не утверждение, а просьба, и логике она недоступна: просьба не бывает истинной или ложной.

Выгоден ли обмен? Иногда нет: переводить стихотворение в формулы бессмысленно, и никто этого не предлагает. Формальная запись нужна для одной работы: проверить, следует ли одно из другого. Внутри этой работы потерянного не жалко, потому что потеряно ровно то, что на следование не влияет.

И последнее, о чём стоит предупредить сразу: перевод не механическая операция. Чтение выбирает человек, и за этот выбор он отвечает. Но проверить готовый перевод можно, и правило проверки одно на весь курс: исходная фраза и запись обязаны быть истинны в одних и тех же случаях. Пользоваться им можно с урока 5, где появятся первые связки и первые четыре случая. Урок 22 разбирает эту проверку целиком и показывает, где на ней спотыкаются чаще всего.

Что дальше

Итог короткий: обычный язык слишком богат для проверки формы, поэтому рядом с ним строят бедный. В уроке 5 появятся три связки: «не», «и», «или». Каждая почти совпадает с русским словом, и слово «почти» здесь самое интересное место.

В уроке 6 появится «если», и оно не совпадает с русским словом совсем. Этот урок главный в модуле. А в модуле III записанное начнут наконец считать: таблица истинности превратит проверку следования в механическую работу, которую нельзя провалить по невнимательности.

Вопросы для самопроверки

Что читать

• forall x: Calgary, гл. 4 «First steps to symbolization»: Идти надо сразу к упражнениям на символизацию: их там несколько десятков, а разрезание фразы на атомарные части ставится только количеством.
• Статья «Ambiguity» в Stanford Encyclopedia of Philosophy: Подробная разборка того, сколькими способами фраза бывает неоднозначной. Читать не обязательно, но полезно увидеть, что наши четыре беды составляют только начало списка.
• Готлоб Фреге, «Begriffsschrift» (1879), предисловие: Двадцать страниц о том, зачем вообще понадобился искусственный язык для рассуждений. Дальше предисловия можно не читать: сама запись Фреге неудобна и в этом виде нигде не используется.