Логические связки: не, и, или
Три связки, которые почти совпадают с русскими словами. И это «почти» придётся разбирать
Логические связки соединяют высказывания в сложные: отрицание («не»), конъюнкция («и»), дизъюнкция («или»). Значение сложного высказывания определяется только значениями его частей, по таблице для каждой связки. Русские «и», «или», «не» совпадают с ними лишь почти, и это «почти» разбирается в уроке.
forall x: Calgary, гл. 5 «Connectives» и гл. 10 «Truth-functional connectives» · 24 мин · обновлено 06.09.2026
После урока вы сможете
- Читать и записывать ¬, ∧, ∨ и называть условия истинности каждой связки
- Различать включающее и исключающее «или» и выбирать между ними осознанно
- Проверять связку на истинностную функциональность
- Понимать, почему «потому что» в язык логики высказываний не входит
Две фразы про Борю отличаются одним словом: «Боря сдал математику и физику» против «Боря сдал математику или физику». Разберём все случаи, а их четыре: предметов два, и по каждому два исхода. Боря сдал оба, и тогда первая фраза истинна. А вторая?
Здесь читатель обычно запинается, и это лучшее место, чтобы начать урок. Запинка не от невнимательности: русское «или» правда работает двумя разными способами. Остальные три случая споров не вызывают: сдал только математику, тогда первая ложна, а вторая истинна. Сдал только физику, тут то же самое. Не сдал ничего, обе ложны.
Итого у «и» истинный случай ровно один из четырёх. У «или» их три, а про четвёртый надо договариваться. Этот урок посвящён трём связкам, почти совпадающим с русскими «не», «и», «или», и слово «почти» тут придётся разбирать каждый раз.
«Не»: переворот значения
Начнём с самой простой связки: «Аня дома» и «Аня не дома». Случаев два. Аня дома, тогда первое истинно, а второе ложно. Ани дома нет, тогда первое ложно, а второе истинно. Больше в отрицании ничего нет: оно берёт высказывание и переворачивает его значение.
Записывается ¬P и читается: неверно, что P. Если по ключу P означает «Аня дома», то ¬P читается «неверно, что Аня дома». Таблица тут на две строки: при истинном P значение ¬P ложно, при ложном P значение ¬P истинно.
Чтение «неверно, что» надёжнее, чем короткое «не», потому что русское «не» умеет прилипать к отдельному слову и менять смысл сильнее, чем нужно. «Аня недобрая» означает не то же самое, что «неверно, что Аня добрая». Первое приписывает ей злость, а второе только отказывает в доброте, и между добротой и злостью есть промежуток.
Поэтому отрицание в записи всегда ставят перед целым высказыванием, а не внутрь него.
Теперь двойное отрицание: ¬¬P читается «неверно, что неверно, что P». Перевернули дважды и вернулись на место, так что это то же самое, что P. Оговорка тут нужна, и лучше сделать её сразу: так считает классическая логика, которой занят наш курс. Есть система, где из двойного отрицания исходное высказывание не получается. Она называется интуиционистской, и урок 23 объясняет, ради чего от этого отказываются.
«Никто ничего не сказал» содержит одно отрицание, растянутое на три слова, а не три отрицания подряд. В записи оно даёт одно ¬. Обратный перевод тоже сбивает с толку: ¬¬P по-русски звучит как «неверно, что неверно, что Аня дома», и так никто не говорит, хотя означает эта фраза ровно то же, что «Аня дома».
«И»: обе части сразу
Обещание: «Куплю хлеб и молоко». Когда вас упрекнут во вранье? Если нет хлеба, если нет молока или если нет ни того ни другого. Не упрекнут только в одном случае: принесли и хлеб, и молоко.
Эта связка называется конъюнкцией и записывается P ∧ Q, читается: P и Q. Таблица у неё на четыре строки, и истинна конъюнкция ровно в одной строке: там, где истинны обе части. Теперь перейдём к расхождениям с русским языком, а их два.
Первое: «и» не единственное слово для этой связки. «Боря сдал, но не готовился», «Боря сдал, а Вера нет», «Дорого, зато надёжно», «Устал, однако дошёл». Проверим «но» по условиям истинности: «Боря сдал, но не готовился» истинно ровно тогда, когда истинны обе части, то есть «Боря сдал» и «Боря не готовился». Условия совпали с «и» полностью, а значит, для нашего языка это одна и та же связка.
Что при этом теряется, надо назвать прямо. «Но» несёт противопоставление: вторая часть подана как неожиданная при первой. «Зато» несёт утешение, «однако» несёт возражение. Всё это исчезает, потому что логика берёт от связки только условия истинности, а оттенок в них не входит. Потеря не безобидная: человек сказал «дёшево, зато сломается», вы записали «дёшево и сломается» и выбросили его оценку. Для проверки следования это неважно, а для спора о смысле важно.
Второе расхождение: порядок частей. Записи P ∧ Q и Q ∧ P («P и Q» и «Q и P») по таблице означают одно и то же. По-русски нет: «он выпил и сел за руль» слышится как порядок во времени, которого в связке нет вовсе. Порядок во времени тут добавляет слушатель, а не говорящий, и в условия истинности эта добавка не входит, поэтому при переводе её теряют.
«Или»: хотя бы одно
Объявление на двери: «Скидка студентам или пенсионерам». Приходит студент, положена скидка. Приходит пенсионер, снова скидка. А если приходит студент, который вдобавок пенсионер? Скидку дадут: никто не скажет «вы слишком хорошо подходите под условие».
Другой случай: в меню написано «На выбор суп или салат». Здесь «или» работает по-другому: возьмёте оба, попросят доплатить. Значит, русское «или» бывает двух видов: одно допускает «и то и другое», другое запрещает. Логика берёт первое и называет его включающим. Записывается P ∨ Q, читается: P или Q, а может быть, и то и другое. Таблица у него на четыре строки, и ложно оно ровно в одной строке: там, где ложны обе части.
Заметьте симметрию с конъюнкцией: у «и» истинная строка одна, у «или» ложная строка одна. Это не совпадение, и урок 9 покажет, откуда оно берётся. Второе «или», исключающее, никуда не делось, его просто выражают через уже введённые знаки.
«Суп или салат, но не оба» записывается как (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q) и читается: хотя бы одно из двух, и неверно, что оба сразу. Отдельного знака курс для него не вводит, потому что он не нужен: всё уже сказано тремя связками. Как выбирать при переводе? Только по смыслу и обстановке, механического правила нет: «либо… либо…» чаще исключающее, одиночное «или» чаще включающее.
Выбор делает переводчик, и объявлять его надо вслух: это первое место в курсе, где перевод оказывается решением, а не вычислением. Но выбор не значит, что проверить нечем. Проверка есть, она одна на весь курс, и пользоваться ею можно с этой минуты.
Перевод годится, если исходная фраза и запись истинны в одних и тех же случаях. Разошлись хоть в одном случае, значит, перевод неверен. Перечень «при каком положении дел истинно, при каком ложно» называется условиями истинности, и правило проверки говорит ровно одно: они обязаны совпасть. Работает это руками: частей две, случаев четыре, идёте по ним подряд и сравниваете.
Проверим на нашем «супе или салате» в кафе, где за оба берут доплату. Случай «взял и то и другое»: по объявлению, как его понимает кассир, обещание не выполнено. А запись P ∨ Q в этом случае истинна, значит, условия разошлись, и включающее «или» тут не годится. Берём вторую запись, (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q): в случае «взял оба» она ложна, а в остальных трёх случаях совпадает с первой. Расхождений нет, перевод принят. Заметьте, чего в проверке не было: спора о том, «что вообще значит слово „или“». Урок 22 занимается этой проверкой целиком и показывает места, где на ней спотыкаются чаще всего.
Сюда же относится ещё одно русское сочетание, «ни… ни». Фраза «Ни Аня, ни Боря не пришли» содержит два отрицания при «и»: Аня не пришла, и Боря не пришёл. Записывается ¬P ∧ ¬Q, читается: неверно, что Аня пришла, и неверно, что Боря пришёл.
Есть и вторая запись того же самого: ¬(P ∨ Q), читается: неверно, что пришёл хоть кто-нибудь из двоих. Равенство этих двух записей докажут таблицей в уроке 9. Это один из законов де Моргана.
Одно и то же слово даёт разные записи. «Скидка студентам или пенсионерам» читается как включающее: тому, кто подходит под оба условия, скидку дадут. «Суп или салат» читается как исключающее: за оба попросят доплатить. Правила, по которому это решается автоматически, не существует. Есть правило другого рода: решение принимает переводчик и объявляет его до разбора, а не после.
Главное свойство: значение целого из значений частей
Во всех трёх таблицах мы делали одно и то же: брали значения частей и по ним называли значение целого. Ни разу не понадобилось знать, о чём речь. Ничего из этого не спрашивалось: кто такая Аня, при чём тут физика, положена ли скидка пенсионерам.
Свойство связки, при котором значение целого определяется только значениями частей, называется истинностной функциональностью.
Название громоздкое, а вещь простая: дайте значения кусков, и значение целого будет названо без заглядывания в содержание. Таким свойством обладают не все союзы, и вот тот, который им не обладает.
«Трава зелёная, потому что дважды два четыре». Обе части истинны: трава действительно зелёная, дважды два действительно четыре. А целое ложно, потому что зелень травы к таблице умножения отношения не имеет. Теперь сравните: «Трава зелёная, потому что в ней хлорофилл». Обе части снова истинны, и целое на этот раз истинно. Разберём по шагам, что отсюда следует, не пропуская ни одного шага.
Шаг 1. В первой фразе значения частей: истина и истина.
Шаг 2. Во второй фразе значения частей те же самые: истина и истина.
Шаг 3. Значит, по значениям частей две фразы неразличимы.
Шаг 4. А значения целого разошлись: первая фраза ложна, вторая истинна.
Шаг 5. Значит, значение целого значениями частей не определяется.
Шаг 6. Значит, «потому что» не истинностно-функционально.
Вывод резче, чем кажется: «потому что» в этот язык не входит вовсе. Не «входит приблизительно» и не «входит с оговорками», а не входит совсем. Причинность придётся разбирать другими средствами, и логика высказываний тут не помощник.
Таких союзов ещё несколько: «Возможно, что», «Аня знает, что», «до того как». Все они смотрят не только на значения частей. Для некоторых из них строят отдельные системы: модальная логика с «необходимо» и «возможно» разбирается в уроке 23, и там же сказано, чем за неё платят. А наш язык устроен просто: в нём есть ровно те связки, у которых значение целого определяется значениями частей, и больше никаких.
Сколько связок нужно на самом деле
Естественный вопрос: а сколько связок вообще требуется?
Меньше, чем кажется. Набор связок называют функционально полным, если через него выражается любая связка, какую можно задать таблицей. Пары {¬, ∧} для этого достаточно, то есть хватает «неверно, что» вместе с «и». Пары {¬, ∨}, то есть «неверно, что» вместе с «или», тоже достаточно.
Дизъюнкцию, например, можно было бы не вводить совсем: «P или Q» означает «неверно, что не P и не Q», то есть ¬(¬P ∧ ¬Q). Перебор занимает минуту, и он уже перед нами: те же четыре случая. Оба истинны: «не P» и «не Q» ложны, «и» от двух ложных ложно, отрицание даёт истину. Истинно только P: «не Q» истинно, «не P» ложно, «и» ложно, отрицание даёт снова истину. Истинно только Q: то же самое зеркально. Оба ложны: «не P» и «не Q» истинны, «и» истинно, отрицание даёт ложь. Столбец вышел И И И Л, ровно таблица «или».
И это ещё не предел: хватает одной-единственной связки, штриха Шеффера. Пишется P | Q, читается: неверно, что оба сразу, то есть ¬(P ∧ Q). Что через него выражается всё, показывается в два хода, и оба стоит проделать глазами.
Отрицание. Возьмём P | P, то есть «неверно, что P и P». Но «P и P» сводится к просто P: части одинаковы, и целое истинно ровно тогда, когда истинно P. Значит, P | P и есть ¬P.
Конъюнкция. Штрих даёт «неверно, что оба», а нам нужно «оба», то есть надо снять отрицание. Отрицание у нас уже есть, и оно тоже штрих: ставим его на всю запись. Запись (P | Q) | (P | Q) даёт ¬(P | Q), то есть P ∧ Q.
Отрицание и конъюнкция получены, а пары {¬, ∧} достаточно. Почему достаточно, тоже стоит показать: рецепт короткий и работает для любой таблицы. Пусть связку задали таблицей. Возьмите каждую строку, где она истинна, и опишите эту строку через «и»: для строки «P истинно, Q ложно» это P ∧ ¬Q. Целое истинно ровно тогда, когда верно хотя бы одно из таких описаний, а значит, их надо соединить через «или», а «или» мы только что выразили через ¬ и ∧. Если истинных строк нет вовсе, годится P ∧ ¬P. Проверять тут нечего и подбирать нечего: рецепт разбирает любую заданную таблицу.
Практический смысл тут прямой: если любую схему можно собрать из одного типа элементов, то производить достаточно один тип. На этом стоит цифровая электроника. Элемент, делающий «не оба сразу», называется NAND, и внутри процессора их миллиарды. Курс дальше пользуется всеми связками сразу, потому что так читается легче, но помнить полезно: часть из них даёт удобство, а не необходимость.
Мысль считать связки как действия алгебры принадлежит Джорджу Булю («Математический анализ логики», 1847). В том же году вышла «Формальная логика» Огастеса де Моргана, чьё имя носят равенства «неверно, что оба» = «хотя бы один не». Сами равенства были известны и раньше, например Уильяму Оккаму в XIV веке. Имя закрепилось за тем, кто вписал их в систему.
Что дальше
Три связки разобраны, и с русскими словами они разошлись умеренно. «И» потеряло противопоставление и порядок во времени, «или» потребовало выбирать между двумя чтениями, а «не» пришлось ставить перед целым высказыванием, а не внутрь него. Всё это оттенки, и условия истинности при переводе сохранились.
В уроке 6 будет иначе: там связка расходится с русским словом не в оттенках, а по существу. Речь о «если». Почти всякий, кто впервые видит его таблицу, считает её ошибкой, и приходится объяснять, что ошибки нет, а есть выбор, сделанный сознательно и с ясной ценой. Урок 6 главный в этом модуле, и торопиться в нём не стоит.
Откуда это и кто доказал
| стоики (Хрисипп и его школа) | ок. 300 до н. э. | Логика связок между целыми высказываниями, разрабатывавшаяся отдельно от силлогистики Аристотеля. По духу это ближе всего к материалу нынешнего модуля. |
| Джордж Буль, «Математический анализ логики» | 1847 | Связки впервые описаны как действия алгебры, которые можно считать по правилам. Отсюда идёт вся вычислительная сторона логики высказываний. |
| Огастес де Морган, «Формальная логика» | 1847 | Работа, по имени автора названы равенства «неверно, что оба» = «хотя бы один не» и «ни то ни другое» = «не то и не это». Известны они были и раньше, в частности Уильяму Оккаму в XIV веке. |
Ловушки и теоремы
Естественное чтение оказывается исключающим, и оно уверенно неверно для логического ∨. Включающее «или» ложно ровно в одном случае из четырёх: когда ложны обе части. «Скидка студентам или пенсионерам» распространяется и на студента-пенсионера, и никто в магазине этому не удивляется. Исключающее чтение тоже существует, но записывается длиннее: (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q), то есть хотя бы одно из двух, и не оба сразу.
Язык берёт от связки только условия истинности. По ним «Боря сдал, но не готовился» истинно ровно тогда же, когда «Боря сдал, и Боря не готовился». Значит, для проверки следования это одна связка. Противопоставление, утешение и возражение при этом теряются, и это объявленная цена соглашения, а не утверждение о том, что «но» и «и» значат одно и то же.
Логика этого не обещает. «Трава зелёная, потому что дважды два четыре» ложно, а «трава зелёная, потому что в ней хлорофилл» истинно, причём при одинаковых значениях обеих частей. Значит, значение целого частями не определяется, и «потому что» в язык не входит вовсе. То же с «возможно, что», «Аня знает, что» и «до того как».
Доказательство представляет собой рецепт, а не перебор примеров: каждую строку, где связка истинна, описывают через «и» (для строки «P истинно, Q ложно» это P ∧ ¬Q), описания соединяют через «или», а «или» само выражено как ¬(¬P ∧ ¬Q). Если истинных строк нет вовсе, годится P ∧ ¬P. Рецепт разбирает любую заданную таблицу, поэтому исключений у утверждения нет. Хватает и одной связки, штриха Шеффера: ¬P записывается как P | P, а P ∧ Q как (P | Q) | (P | Q). Условие ровно одно и оно существенное: связку должна задавать таблица. «Потому что» не выражается вовсе, и не оттого, что набор беден, а оттого, что значение целого там не считается по значениям частей.
Термины
- логическая связкаconnective
- Знак, делающий из одного или двух высказываний новое высказывание: ¬, ∧, ∨. В язык курса входят только те связки, у которых значение целого определяется значениями частей.
- отрицаниеnegation
- Связка «неверно, что»: ¬P истинно ровно тогда, когда P ложно. Ставится перед целым высказыванием, а не внутрь него: «неверно, что Аня добрая» значит не то же, что «Аня недобрая».
- конъюнкцияconjunction
- Связка «и»: P ∧ Q истинно ровно в одном случае из четырёх: когда истинны обе части. Ею же записывают «но», «а», «зато» и «однако».
- дизъюнкцияdisjunction
- Связка «или» во включающем смысле: P ∨ Q ложно ровно в одном случае из четырёх: когда ложны обе части. Истинна и тогда, когда истинны обе.
- исключающее «или»exclusive disjunction
- Чтение «или», при котором истинно ровно одно из двух. Отдельного знака курс не вводит: записывается как (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q), то есть хотя бы одно из двух, и не оба сразу.
- условия истинностиtruth conditions
- Перечень того, при каких положениях дел высказывание истинно и при каких ложно. Перевод верен, если условия истинности исходной фразы и записи совпадают.
- истинностная функциональностьtruth-functionality
- Свойство связки, при котором значение целого определяется только значениями частей. «Потому что» им не обладает и потому в язык логики высказываний не входит.
- функциональная полнотаfunctional completeness
- Свойство набора связок, при котором через него выражается любая связка, задаваемая таблицей. Полны {¬, ∧}, {¬, ∨}, а также один штрих Шеффера.
- штрих ШеффераSheffer stroke
- Связка «неверно, что оба сразу», то есть ¬(P ∧ Q). Функционально полна сама по себе, а в электронике тот же элемент называется NAND.
Практикум · Десять фраз и список потерь
Упражнение на перевод и на честность. Половина работы состоит в том, чтобы записать фразы связками, а вторая требует назвать вслух, что при этом пропало. Вторую половину обычно пропускают, и зря: именно там прячутся будущие споры.
- Соберите десять фраз с союзами из одного разговора или одной статьи. Берите живые, а не придуманные: придуманные всегда выходят удобными.
- Для каждой составьте ключ перевода и запишите фразу знаками ¬, ∧, ∨. Каждую запись прочитайте вслух словами и сверьте с исходной фразой.
- Отметьте все «или» и решите по каждому, включающее оно или исключающее. Решение обоснуйте одной фразой: «если верно и то и другое, фраза остаётся истинной», либо «не остаётся».
- Выпишите, что потерялось: противопоставление у «но», порядок во времени у «и», намёк, ирония. Против каждой потери отметьте, меняет ли она условия истинности.
- Найдите в собранном хотя бы один союз, который не истинностно-функционален. Проверяйте его так же, как проверяли «потому что»: подберите две фразы с одинаковыми значениями частей и разными значениями целого.
Вопросы для самопроверки
«Скидка студентам или пенсионерам». Пришёл студент, который вдобавок пенсионер. Что скажет логика?
- Скидка положена: включающее «или» истинно и тогда, когда истинны обе части
- Скидка не положена: «или» требует, чтобы выполнялось ровно одно условие
- Случай не определён, потому что объявление составлено неточно
- Скидка положена дважды, по одной за каждое условие
«Боря сдал, но не готовился». Как эта фраза записывается в языке логики высказываний?
- Никак: «но» не истинностно-функционально и в язык не входит
- Так же, как «Боря сдал, и Боря не готовился»
- Как исключающее «или»: «но» подчёркивает, что части не сходятся
- Как отрицание конъюнкции: «но» отменяет одну из частей
Почему «потому что» не входит в язык логики высказываний?
- Потому что причинность изучает не логика, а естественные науки
- Потому что для этого союза не нашлось удобного знака
- Потому что при одинаковых значениях частей целое бывает и истинным, и ложным
- Потому что «потому что» соединяет события, а не высказывания
Пусть P означает «Аня пришла», а Q означает «Боря пришёл». Какая запись передаёт «Ни Аня, ни Боря не пришли»?
- ¬(P ∧ Q)
- ¬P ∨ ¬Q
- P ∧ ¬Q
- ¬P ∧ ¬Q
Что означает, что набор связок {¬, ∧} функционально полон?
- Что этих двух связок достаточно для записи любого русского союза
- Что дизъюнкцию через них определить можно, а конъюнкцию нельзя
- Что через них выражается любая связка, задаваемая таблицей
- Что других связок в логике попросту не существует
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- forall x: Calgary, гл. 5 «Connectives» и гл. 10 «Truth-functional connectives»: Вторая из названных глав отвечает на вопрос, которого урок коснулся вскользь: как отличить истинностно-функциональный союз от прочих. Там же полные таблицы всех связок разом.
- Джордж Буль, «Математический анализ логики» (1847): Книга, с которой связки стали считать. Читать её целиком незачем, а открыть стоит: видно, что нынешняя запись стала результатом ста семидесяти лет шлифовки, а не готовой идеей.
- Статья «Classical Logic» в Stanford Encyclopedia of Philosophy: Обзор всей системы разом: связки, таблицы, вывод. Полезнее после урока 9, когда таблицы уже освоены. На этом месте достаточно просмотреть первый раздел.