Ставка дисконтирования: как сравнивать деньги из разных лет

Ставка дисконтирования это величина, показывающая, во сколько раз единица блага через год весит меньше такой же единицы сегодня. С её помощью суммы из разных моментов приводят к одной дате и только тогда сравнивают. Важно помнить, что это параметр расчёта, который кто-то выбрал, а не измеренное свойство человека или рынка.

Формула

Пусть ставка равна r в год. Тогда сумма, полученная через t лет, равноценна сегодняшней сумме, меньшей в (1 + r) в степени t раз. Эта сегодняшняя сумма называется приведённой стоимостью. Например, 100 000 рублей через пять лет при ставке 10 % стоят сегодня 100 000 / 1,1⁵, то есть около 62 000.

Отсюда общий вывод. Ответ на вопрос «что больше, сумма сейчас или сумма потом» зависит от ставки, и это не уклончивость, а устройство задачи. Всякий раз, когда сравниваются суммы из разных моментов, ставка уже участвует в сравнении, либо названная, либо подразумеваемая молча.

Насколько сильно ставка меняет ответ

Возьмём одну и ту же сумму и один и тот же срок в тридцать лет. При 5 % годовых множитель равен 4,322, при 9 % он равен 13,268. Ставка выросла в 1,8 раза, а итог в 3,07 раза. Причина в том, что ставка стоит в показателе степени, и разница накапливается с каждым годом. На сроке в один год её почти не видно, на длинных сроках она решает всё.

Поэтому в любом расчёте окупаемости, пенсионных накоплений или общественного проекта первый вопрос звучит одинаково: какая ставка подставлена и почему именно она. Курс не считает низкую ставку «гуманнее», а высокую «трезвее». Он требует одного: чтобы ставка была названа вслух, а не спрятана внутри расчёта.

Где ошибаются

Главная ловушка состоит в том, что ставку начинают считать свойством человека. В опросе Ричарда Талера (1981) людей спрашивали, какая сумма через месяц, через год и через десять лет была бы для них равноценна 15 долларам сегодня. Медианные ответы дали 20, 50 и 100 долларов. Средняя годовая ставка выходит 345 % на горизонте месяца, 120 % на горизонте года и 19 % на горизонте десяти лет. Одни и те же люди, один опрос, три несовместимых значения одного параметра.

Арифметика приведения к одной дате от этого не страдает: она не зависит от чьего-либо поведения. Под сомнением другое, допущение, что у человека есть одна ставка, описывающая все его решения о будущем. Измерения его не подтверждают. Ставка в формуле служит параметром модели, и выдавать подставленное число за измеренное нельзя.

Вторая ошибка мельче, но встречается чаще: смешать номинальную и реальную ставку. При номинальных 7 % и росте цен на 4 % в год покупательная способность растёт не на 3 %, а на (1,07 / 1,04) − 1, то есть примерно на 2,9 %. Вычитание работает как приближение и при больших величинах заметно расходится с ответом.

Вопросы

Ставка дисконтирования и ключевая ставка это одно и то же?

Нет. Ключевую ставку назначает центральный банк, а ставку дисконтирования выбирает тот, кто делает расчёт, исходя из доходности альтернатив и риска. Ключевая ставка бывает одним из ориентиров для выбора, но не заменяет его.

Какую ставку дисконтирования брать?

Ту, что соответствует лучшей доступной альтернативе с сопоставимым риском, и называть её в расчёте явно. Универсального числа нет, а расчёт с непонятно откуда взявшейся ставкой это не расчёт, а иллюстрация.

Что такое приведённая стоимость?

Сегодняшняя сумма, равноценная будущей при выбранной ставке. Будущую сумму делят на (1 + r) в степени числа лет.