Дисконтирование и приведённая стоимость
Почему суммы из разных моментов нельзя просто складывать
Дисконтирование это приведение сумм из разных моментов к одной дате: будущий рубль стоит меньше сегодняшнего, и считают это делением на множитель роста за срок. Под 7 % годовых 10 000 рублей за тридцать лет превращаются в 76 122 рубля, а линейный счёт обещал бы прирост всего 21 000. Ставка важнее, чем кажется, ведь плата 1,5 % в год от остатка забирает треть итога.
MIT 14.01, лекция 17 · Samuelson, 1937 · Frederick, Loewenstein, O'Donoghue, 2002 · 45 мин · обновлено 01.10.2026
После урока вы сможете
- Приводить суммы из разных моментов к одной дате и объяснять, зачем это нужно
- Доводить до конца расчёт по сложному проценту и называть, где линейная интуиция даёт сбой
- Отделять техническую часть выбора ставки дисконтирования от ценностной
- Различать модель дисконтированной полезности и измерения, которые ей не подчиняются
Учебная задача. Вам предлагают на выбор 100 000 рублей сейчас или 130 000 рублей через три года. Что больше?
Вопрос поставлен неполно, и в этом всё дело. Сумма денег без указания момента даёт не величину, а половину величины. 130 000 через три года и 130 000 сегодня означают разные вещи: сегодняшними деньгами можно распорядиться раньше, а будущими нет. Складывать суммы из разных моментов так же нельзя, как складывать метры с килограммами.
Операция, которая делает их сравнимыми, называется приведением к одной дате, и она устроена из одной арифметической идеи. Идея простая, а следствия из неё расходятся с интуицией настолько, что этот урок почти целиком состоит из доведённых до конца расчётов.
Сразу оговорка, которая относится ко всему дальнейшему. Все суммы, сроки и ставки здесь подобраны ради круглой арифметики: это учебные задачи, а не сведения о доходности чего бы то ни было. Курс не даёт ни прогнозов, ни инвестиционных рекомендаций.
Приведение к одной дате
Пусть ставка равна r в год. Тогда сумма, полученная через t лет, равноценна сегодняшней сумме, меньшей в (1 + r) в степени t раз. Эта сегодняшняя сумма называется приведённой стоимостью.
Считаем нашу задачу при ставке 8 %. Три года дают множитель 1,08 в кубе, то есть 1,2597. Приведённая стоимость 130 000 рублей равна 130 000 / 1,2597, то есть примерно 103 200 рублей. Это больше 100 000: при такой ставке поздняя сумма предпочтительнее. Но перевес всего около 3 %.
Теперь та же задача при ставке 12 %. Множитель 1,12 в кубе равен 1,4049, и приведённая стоимость 130 000 составляет примерно 92 500 рублей. Ответ перевернулся: теперь выгоднее взять 100 000 сейчас.
Найдём ставку, при которой варианты равноценны. Нужно, чтобы (1 + r) в кубе равнялось 1,3. Кубический корень из 1,3 равен примерно 1,0914, то есть r около 9,1 % годовых. Ниже этой ставки выгоднее поздняя сумма, а выше ранняя.
Отсюда первый вывод, и он общий. Ответ на вопрос «что больше» зависит от ставки, и это не уклончивость, а устройство задачи. Всякий раз, когда сравниваются суммы из разных моментов, ставка уже участвует в сравнении, либо названная, либо подразумеваемая молча.
Сложный процент против линейной интуиции
Теперь главный расчёт урока. Учебные числа: 10 000 рублей, ставка 7 % годовых, срок 30 лет.
Линейная интуиция считает так. Семь процентов от 10 000 это 700 рублей в год. За тридцать лет набегает 700 × 30 = 21 000, итого 31 000 рублей. Умножение примерно втрое за тридцать лет и есть тот ответ, который называют почти не задумываясь.
Правильный счёт отличается одним обстоятельством: со второго года процент начисляется и на то, что уже начислено. Во второй год 7 % берутся не с 10 000, а с 10 700. В третий год их считают с 11 449, и так далее. Итог равен 10 000, умноженным на 1,07 в тридцатой степени.
Посчитаем по шагам, чтобы было видно, откуда берётся результат. За десять лет множитель 1,07 в десятой степени равен 1,967, почти удвоение. Тридцать лет это три таких промежутка: 10 000 превращается примерно в 19 700, затем в 38 700, затем в 76 100. Точное значение 1,07 в тридцатой степени равно 7,612, итог составляет 76 122 рубля.
Сопоставим. Линейный счёт даёт прирост 21 000 рублей, сложный процент приносит 66 122 рубля. Разница не в аккуратности, а в порядке величины: прирост больше в 3,1 раза, а расхождение составляет 45 122 рубля на исходной сумме в 10 000.
Тот же расчёт даёт полезное следствие, правило 72: разделите 72 на ставку в процентах и получите примерный срок удвоения. Для 7 % это 72 / 7 ≈ 10,3 года, что сходится с точным ответом. Правило остаётся арифметическим приближением и ничего не говорит ни о рынках, ни о том, где такую ставку взять.
Тот же механизм сбивает линейную интуицию ещё в одном месте, при усреднении. Учебная задача: сумма за год выросла на 50 %, а за следующий упала на 50 %. Среднее арифметическое двух годовых изменений равно нулю. Итог считается умножением: 1,5 × 0,5 = 0,75, то есть четверти денег нет. Правильная средняя величина здесь та, которая, будучи возведена в степень числа лет, даёт итог: корень из 0,75 равен 0,866, то есть −13,4 % в год. Складывать и делить пополам можно проценты, но не множители, и расхождение между двумя средними тем больше, чем сильнее разброс по годам.
Курс разбирает смещение выжившего в четырёх видах: отбор площадок под пилот (урок 20), отбор работ в публикацию (уроки 19 и 24), неблагоприятный отбор и состав застрахованных (уроки 15 и 18). Пятый вид полагается приложить сюда самостоятельно. Когда где-либо показывают многолетний ряд итогов, показывают его те, кто до конца ряда дожил: у выбывших нет ни отчёта, ни рекламы. Средняя по такой витрине завышена, и завышена не ошибкой в счёте, а тем, кого в неё пустили. Проверка одна и та же во всех пяти случаях: спросить, кто в этот список не попал и почему. Разбор витрины результатов на её собственном материале ждёт в курсе школы о деньгах. Здесь важно узнать в ней уже знакомый механизм.
Почему ставка важнее, чем кажется
Та же сумма, тот же срок, другая ставка. При 5 % годовых множитель за тридцать лет равен 4,322, итог выходит 43 219 рублей. При 9 % множитель равен 13,268, итог получается 132 677 рублей.
Сравните: ставка выросла в 1,8 раза, а итог в 3,07 раза. Причина в том, что ставка входит в показатель степени, а не в множитель, и разница накапливается с каждым годом. Чем длиннее срок, тем сильнее это проявляется. На сроке в один год разницы почти нет.
У той же арифметики есть симметричная сторона, о которой в учебных примерах забывают. Точно так же растёт долг, если проценты по нему не гасятся. Доведём и это до конца. Учебная задача: долг 100 000 рублей под те же 7 % годовых, по которому не платят вовсе. Через десять лет он составит 196 715 рублей, а через тридцать дойдёт до 761 226. Множитель тот же самый, 7,61. Для должника у него другой знак, и только. И точно так же обесценивается сумма, если цены растут.
Отсюда важное различение. Пусть номинальная ставка равна 7 %, а цены растут на 4 % в год. Покупательная способность прирастает тогда не на 3 %, а на (1,07 / 1,04) − 1 = 0,0288. То есть примерно на 2,9 % в год. Это реальная ставка. Привычное вычитание 7 − 4 = 3 работает как приближение. При малых величинах оно достаточно точно, при больших заметно расходится с ответом.
Одного года для этого различения мало: доведём его до конца срока. Наши 76 122 рубля посчитаны при росте цен, равном нулю. Пусть цены растут на 4 % в год: за тридцать лет они умножаются на 1,04 в тридцатой степени, то есть на 3,2434. Значит, тот же итог в сегодняшних деньгах равен 76 122 / 3,2434 ≈ 23 470 рублей. Множитель покупательной способности равен 2,35, а не 7,61. Заметьте, что это относится ко всем множителям урока: и 4,32 при 5 %, и 13,27 при 9 % тоже номинальные, и с каждым из них полагается проделать ровно эту операцию.
Третий вычет из того же множителя появляется, когда суммой распоряжается кто-то ещё и берёт за это плату. Пусть она составляет 1,5 % в год от остатка. Тогда сумма растёт не по 7, а по 5,5 % в год, и множитель за тридцать лет равен 1,055 в тридцатой степени, то есть 4,984. Итог: 49 840 рублей вместо 76 122. Отнято 26 282 рубля, или 34,5 % итога. Соразмерности здесь нет и быть не может: полтора процента в год забирают треть, потому что вычитаются из основания степени, а не из результата.
Ставки 5, 7 и 9 % взяты здесь ровно потому, что дают круглые множители. Они не являются ни наблюдением, ни прогнозом. Реальные решения о деньгах отличаются от этих задач по меньшей мере тремя вещами, которых в формуле нет: доходность заранее не известна, у неё есть разброс, и часть её съедают издержки и налоги. Курс объясняет, как устроен механизм приведения к одной дате, и не даёт рекомендаций.
Дисконтирование за пределами денег
Та же операция применяется к решениям, где денег может не быть вовсе. Это годы учёбы, ремонт сейчас или через пять лет, лечение, дамба на случай наводнения через полвека. Везде, где выгоды и издержки разнесены во времени, приходится назначить ставку дисконтирования. Она показывает, во сколько раз будущая единица блага весит меньше сегодняшней. В двенадцатом уроке та же величина называлась весом будущего и решала, держится ли сговор.
Учебный пример с длинным горизонтом. Пусть некоторое мероприятие даёт выгоду в 1 000 000 рублей, наступающую через сто лет. При ставке 1 % годовых множитель 1,01 в сотой степени равен 2,7048. Приведённая стоимость этой выгоды составляет 369 711 рублей. При ставке 5 % множитель равен 131,50, и приведённая стоимость той же самой выгоды выходит 7 604 рубля.
Разница в четыре процентных пункта превращает одну и ту же будущую выгоду в величины, различающиеся почти в 49 раз. Ни одно другое число в подобном расчёте не обладает такой властью над результатом.
Отсюда следствие, которое стоит назвать прямо. Выбор ставки состоит из двух частей разной природы. Одна часть техническая: во что ещё можно было бы вложить те же средства, и она в принципе измерима. Другая часть сводится к суждению о том, какой вес получают люди, которые будут жить через сто лет. Данных, из которых следовал бы ответ на второй вопрос, не существует, потому что это вопрос не о фактах.
Курс не выбирает здесь сторону и не считает, что низкая ставка «гуманнее», а высокая «трезвее». Он требует другого и вполне выполнимого: чтобы ставка была названа вслух, а не спрятана внутри расчёта. Спор о ставке законен. Спор, в котором одна сторона выдаёт свою ставку за арифметику, законным не назовёшь.
Модель и то, что удалось измерить
Разведём теперь модель и измерение, как того требует весь курс.
Модель. Пол Самуэльсон в 1937 году предложил оценивать поток потребления суммой мгновенных полезностей, приведённых к общей дате одной ставкой. Эта конструкция, модель дисконтированной полезности, стала стандартным инструментом. Стоит знать и другое. Сам Самуэльсон в той же статье назвал допущение о максимизации такой суммы произвольным и за описание поведения его не выдавал.
Измерение. Шейн Фредерик, Джордж Лёвенштейн и Тед О'Донохью в 2002 году свели воедино тридцать лет попыток измерить ставку дисконтирования у живых людей. Результат такой. Подразумеваемые годовые ставки в разных работах разбросаны от −6 % до бесконечности, и со временем разброс не сужается. Авторы прямо говорят о зрелищном разногласии между десятками исследований, каждое из которых заявляет, что измеряет одно и то же.
Показательнее всего расхождения внутри одного исследования. В работе Ричарда Талера (1981) людей спрашивали, какая сумма через месяц, через год и через десять лет была бы для них равноценна 15 долларам сегодня. Медианные ответы дали 20, 50 и 100 долларов. Средняя годовая ставка выходит 345 % на горизонте месяца, 120 % на горизонте года и 19 % на горизонте десяти лет. Одни и те же люди, один опрос, три несовместимых значения одного параметра.
Похожая картина по товарам. Подразумеваемую ставку восстанавливали из выбора между дешёвым и экономичным прибором. Вышло от 17 до 20 % для кондиционеров, 102 % для газовых водонагревателей, 138 % для морозильников. Для холодильников получилось от 45 до 300 % в зависимости от допущений о цене электричества.
Что из этого следует и чего не следует. Арифметика приведения к одной дате остаётся верной, ведь она не зависит ни от чьего поведения. Под сомнением другое: допущение, что у человека есть одна ставка, которой описываются все его решения о будущем. Измерения его не подтверждают. Ставка, которую подставляют в формулу, служит параметром модели, а не измеренным свойством человека, и относиться к ней надо соответственно.
Одно следствие стоит назвать сразу. Ставка падает с удлинением горизонта, значит, план, составленный на год вперёд, человек пересмотрит, когда срок подойдёт. Это называют непоследовательностью во времени, а подробный разбор дан в уроке о поведенческой экономике, в последнем модуле.
И граница, за которую этот урок не идёт. Приведение к одной дате понадобилось экономике затем, чтобы сравнивать разнесённые во времени выгоды и издержки общественного проекта: ставка здесь работает параметром общего решения, а не личного. Что тот же множитель делает со сбережениями одного человека, разбирает отдельный курс школы, курс о деньгах. Туда же относятся вопросы, какое среднее человеку показали, что осталось после платы за обслуживание, кто не дожил до витрины результатов. Здесь на эти вопросы не отвечают: арифметика верна, а входных величин для такого решения в ней нет.
Полезно держать эти два утверждения раздельно. Приведение к одной дате даёт способ сделать величины сопоставимыми, и в этом качестве оно безупречно: два платежа в разные моменты иначе просто не сравнить. Если единую ставку дисконтирования считать свойством человека, выходит эмпирическое утверждение, и оно измерениями не подтверждается. Пользоваться формулой, зная это, можно. Выдавать подставленное в неё число за измеренное нельзя.
Множитель и что от него остаётся
Одна сумма, ставка и срок, как в уроке. Рядом три величины, с которыми множитель обычно сравнивают: линейный счёт, тот же множитель за вычетом ежегодной комиссии и он же, пересчитанный на рост цен. Числа учебные: это условие задачи, а не прогноз.
Ключевые работы
| Paul A. Samuelson, «A Note on Measurement of Utility», The Review of Economic Studies 4(2), 155-161 | 1937 | Работа, с которой отсчитывают модель дисконтированной полезности: поток потребления оценивается суммой мгновенных полезностей, приведённых одной ставкой. Автор в той же статье называет допущение произвольным. |
| Frederick, Loewenstein, O'Donoghue, «Time Discounting and Time Preference: A Critical Review», Journal of Economic Literature 40(2), 351-401 | 2002 | Сводка тридцати лет измерений: подразумеваемые годовые ставки дисконтирования разбросаны от −6 % до бесконечности, разброс со временем не сужается, признаков методического прогресса нет. |
| Richard Thaler, «Some empirical evidence on dynamic inconsistency», Economics Letters 8(3), 201-207 | 1981 | Медианные ответы на вопрос о равноценности 15 долларам сегодня составили 20 долларов через месяц, 50 через год, 100 через десять лет, и это даёт 345 %, 120 % и 19 % годовых соответственно. |
Что подтвердилось, а что нет
Сводка Фредерика, Лёвенштейна и О'Донохью (2002) даёт разброс подразумеваемых годовых ставок от −6 % до бесконечности, причём расхождения возникают не только между работами, но и внутри одной. У Талера (1981) медианные ответы одних и тех же людей дают 345 % годовых на горизонте месяца, 120 % на горизонте года и 19 % на горизонте десяти лет. Ставка систематически падает с удлинением горизонта, различается для выигрышей и потерь, для крупных и мелких сумм и для разных товаров. Усреднять здесь нечего: расхождение упорядоченное, а не случайное. Единый параметр приписан человеку моделью, а измерением не обнаружен.
Часть обоснования действительно техническая и измерима: во что ещё можно вложить те же средства и какова доходность этой альтернативы. Но при длинных горизонтах в ставку неизбежно входит второе слагаемое, суждение о том, какой вес получают люди будущих поколений, и оно из данных не выводится, потому что это вопрос не о фактах. Величина расхождения при этом не косметическая: выгода в миллион рублей через сто лет стоит сегодня 369 711 рублей при ставке 1 % и 7 604 рубля при 5 %. Утверждение держится в узкой форме, для коротких горизонтов и при явно названной альтернативе, а в ходу оно в широкой.
Экономика этого не утверждает и утверждать не может. Модель выбора во времени описывает обмен между моментами и показывает, чем он оплачивается в обе стороны. Какая степень терпения «правильна», в ней не выводится ниоткуда. Человек, предпочитающий потратить сегодня, не совершает ошибки в модели, ведь у него другая ставка временного предпочтения, и модель это допускает. Приписывание экономике проповеди бережливости обычно возникает оттого, что учебные примеры считают рост вклада и не считают ценность того, от чего ради него отказались, хотя альтернативная стоимость и есть главный инструмент, который курс вводит с самого начала.
Об уровне измерение дало отрицательный результат, а о направлении определённый, и держатся эти две половины на разном. Из свода Frederick, Loewenstein и O'Donoghue (2002), сложившего тридцать лет попыток измерить ставку, курс берёт только разброс между работами: от −6 % до бесконечности, и со временем он не сужается. Направление курс берёт не из свода, а из сравнения внутри одних и тех же людей: у Thaler (1981) медианные ответы о равноценности 15 долларам сегодня составили 20 долларов через месяц, 50 через год и 100 через десять лет, то есть 345 %, 120 % и 19 % годовых. Устояло следствие, а не число: план, составленный на год вперёд, человек пересматривает, когда срок подходит. Величину ставки это измеренным свойством человека не делает. В формулу она входит параметром модели, и относиться к ней надо соответственно.
Термины
- приведённая стоимостьpresent value
- Сегодняшняя сумма, равноценная заданной сумме в будущем при заданной ставке. Получается делением будущей суммы на (1 + ставка) в степени числа периодов.
- будущая стоимостьfuture value
- Во что превращается сегодняшняя сумма через заданное число периодов при заданной ставке. Обратная операция к приведению.
- ставка дисконтированияdiscount rate
- Величина, показывающая, во сколько раз единица блага через год весит меньше единицы сегодня. Параметр расчёта, а не измеренное свойство человека.
- сложный процентcompound interest
- Начисление, при котором процент следующего периода считается и на ранее начисленное. Даёт рост по степенной, а не по линейной зависимости от срока.
- простой процентsimple interest
- Начисление всегда на исходную сумму. Совпадает со сложным за один период и отстаёт тем сильнее, чем длиннее срок.
- реальная ставкаreal interest rate
- Ставка, пересчитанная на изменение цен: (1 + номинальная) / (1 + рост цен) − 1. Показывает прирост покупательной способности, а не суммы.
- правило 72rule of 72
- Приближение: срок удвоения примерно равен 72, делённым на ставку в процентах. Арифметическое удобство, не утверждение о рынках.
- модель дисконтированной полезностиdiscounted utility model
- Представление ценности потока потребления суммой мгновенных полезностей, приведённых к общей дате одной ставкой. Предложена Самуэльсоном в 1937 году как модель, а не как описание поведения.
Практикум · Множитель до конца и обратно
Задача состоит в том, чтобы довести до конца пять расчётов на заданных числах и увидеть, что множитель считается в обе стороны и что от него остаётся после поправок. Числа здесь учебные и заданы условием: это арифметическая работа, а не разбор ваших денег. Никакого решения по итогам принимать не требуется.
- Возьмите исходную сумму 50 000 рублей, ставку 6 % годовых и срок 25 лет. Множитель 1,06 в двадцать пятой степени равен 4,2919. Посчитайте итог по сложному проценту и отдельно линейный ответ, где к исходной сумме прибавляется 6 % от неё двадцать пять раз, то есть сумма умножается на 2,5. Запишите оба числа и во сколько раз первое больше второго.
- Тот же расчёт с платой за обслуживание. Пусть она равна 1 % в год от остатка: сумма растёт тогда по 5 % в год, множитель 1,05 в двадцать пятой степени равен 3,3864. Посчитайте итог и запишите, какую долю прежнего он составляет. Один процент в год это сколько процентов итога? Ответ должен вас удивить. Если не удивил, перепроверьте счёт.
- Теперь рост цен. Пусть цены растут на 3 % в год: 1,03 в двадцать пятой степени равно 2,0938. Разделите на это число оба итога, с платой за обслуживание и без неё, и запишите их в сегодняшних деньгах. Сравните получившиеся множители с 4,2919, с которого начали, и запишите все три рядом.
- Обратная задача, чтобы проверить, что операция понята в обе стороны. Посчитайте, какая сумма сегодня равноценна 100 000 рублей через 10 лет при ставке 3 % и при ставке 8 %. Множители: 1,03 в десятой степени равно 1,3439, для 1,08 в десятой получается 2,1589. Запишите оба ответа и разницу между ними.
- Последний шаг делается на чужом материале, а не на своём кошельке. Найдите публичное обсуждение общественного проекта с отдалёнными последствиями: дамба, ветка метро, программа расселения, свалка, лесовосстановление. Выпишите, какие выгоды и издержки в нём разнесены во времени и на сколько лет. Назовите ставку дисконтирования, при которой проект окупается, и ставку, при которой нет. Если в обсуждении ставка не названа вовсе, это и есть ваш результат, и записать надо именно его.
Вопросы для самопроверки
10 000 рублей под 7 % годовых на 30 лет. Линейный счёт даёт 31 000 рублей, а сложный процент 76 122. Откуда берётся разница?
- Из того, что на длинных сроках ставка обычно оказывается выше
- Из того, что процент каждый год начисляется и на ранее начисленный процент
- Из того, что линейный счёт не учитывает рост цен
- Из того, что тридцать лет слишком долгий срок для любого приближения
Одна и та же будущая выгода в 1 000 000 рублей через сто лет оценивается в 369 711 рублей при ставке 1 % и в 7 604 рубля при ставке 5 %. Что отсюда следует для спора об общественном проекте?
- Что оценивать далёкие выгоды бессмысленно
- Что правильная ставка должна быть низкой: при высокой далёкое будущее обесценивается почти до нуля, а значит, такая ставка попросту неверна
- Что расчёт приведённой стоимости ненадёжен и применять его не стоит: результат меняется в сорок девять раз от одной цифры
- Что выбор ставки надо называть и обсуждать отдельно: от него результат зависит сильнее, чем от прочих чисел
Учебная задача: 100 000 рублей сейчас или 130 000 через три года. При какой ставке дисконтирования варианты равноценны?
- Примерно при 9,1 % годовых
- Ровно при 10 % годовых: 30 000 прибавки за три года это по 10 % в год
- Примерно при 30 % годовых: 130 000 больше 100 000 ровно на 30 %
- Ставка здесь ни при чём: 130 000 больше, чем 100 000
Номинальная ставка 7 % годовых, цены растут на 4 % в год. Чему примерно равна реальная ставка?
- Примерно 11 %: годовые ставки складываются
- Ровно 3 %: разность номинальной ставки и роста цен даёт точный ответ
- Примерно 2,9 %
- Определить нельзя, пока не известен срок
Сводка Фредерика, Лёвенштейна и О'Донохью (2002) даёт разброс подразумеваемых годовых ставок дисконтирования от −6 % до бесконечности, не сужающийся со временем. Что это говорит о модели дисконтированной полезности?
- Что расчёт приведённой стоимости неверен и пользоваться им нельзя
- Что измерения проведены недобросовестно
- Что оценки надо просто усреднить по всем работам
- Что представление всех решений о будущем одной ставкой измерением не подтверждается
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- MIT 14.01 «Principles of Microeconomics», лекция 17 «Выбор во времени» (OCW): Приведённая стоимость, межвременное бюджетное ограничение и сбережения составляют тот же материал в исходной подаче.
- Frederick, Loewenstein, O'Donoghue, «Time Discounting and Time Preference: A Critical Review», Journal of Economic Literature 40(2), 2002: В разделе 6 собраны измерения ставки и разбор того, почему они не сходятся. Лучший из известных примеров того, как выглядит параметр, который не удаётся измерить.
- Paul A. Samuelson, «A Note on Measurement of Utility», Review of Economic Studies 4(2), 1937: Шесть страниц, с которых началась модель. Полезно увидеть, насколько осторожнее автор формулирует, чем позднейшие пересказы.