Простые проценты: чем они отличаются от сложных

Простые проценты это начисление всегда на исходную сумму: каждый год прибавляется одна и та же величина. Сложные проценты начисляются на сумму, которая уже выросла, поэтому прибавка каждый год больше предыдущей. За один период оба способа дают одно и то же, а дальше простые отстают, и тем сильнее, чем длиннее срок.

Формула и пример

При простых процентах сумма через t лет равна исходной, умноженной на (1 + r · t), где r это ставка за год. При 7 % годовых и 100 000 рублей через тридцать лет получится 100 000 · (1 + 0,07 · 30) = 310 000 рублей: тридцать одинаковых прибавок по 7 000.

При сложных процентах сумма через t лет равна исходной, умноженной на (1 + r) в степени t. Те же 100 000 под те же 7 % за тридцать лет превращаются в 100 000 · 1,07³⁰, то есть примерно в 761 000 рублей. Разница в 451 000 больше самого простого итога, и вся она берётся из того, что процент начисляется на уже начисленный процент.

Откуда берётся разрыв

На первом году разницы нет: и там и там прибавляется 7 000. На втором году сложный процент начисляется уже на 107 000, а простой по-прежнему на 100 000, и разница составляет 490 рублей. К десятому году она измеряется тысячами, к тридцатому сотнями тысяч. Ставка входит в показатель степени, а не в множитель, поэтому расхождение накапливается, а не остаётся постоянным.

Если проценты каждый год снимать со счёта, они перестают работать, и рост становится простым. Это главный практический смысл различения: сложный процент существует только пока начисленное остаётся в деле.

Где ошибаются

Первая ошибка это оценивать длинный срок «в уме» по простой схеме: 7 % за тридцать лет кажутся удвоением с небольшим, а на деле это рост в семь с половиной раз. Интуиция складывает, а сложный процент умножает.

Вторая ошибка касается займов. Условие «один процент в месяц» звучит как 12 % в год, но если процент берётся от первоначальной суммы, а долг гасится частями, то в среднем по году вы должны вдвое меньше, а платите как за полный. В пересчёте на остаток выходит около 21,5 % годовых. Простой процент от исходной суммы при убывающем долге это дорогой заём в упаковке дешёвого.

Вопросы

Когда простые проценты выгоднее сложных?

Для вкладчика никогда, при равной ставке. Для заёмщика простые проценты от остатка долга выгоднее сложных, а простые от первоначальной суммы при погашении частями, наоборот, дороже, чем кажется по ставке.

Как быстро сумма удваивается при сложном проценте?

Примерно за 72, делённые на ставку в процентах, лет: при 7 % около десяти лет, при 9 % около восьми. Это грубое правило семидесяти двух, при простых процентах удвоение при 7 % займёт больше четырнадцати лет.

Почему в банках почти всегда сложный процент?

Потому что начисленные проценты остаются на счёте и дальше сами приносят процент. Простой процент получается, если их регулярно снимать или если по условиям договора они не капитализируются.