Теорема Байеса простыми словами

Почему точный тест при редкой болезни ошибается чаще, чем попадает

Условная вероятность это вероятность события в мире, где известно, что произошло другое событие. P(A при условии B) и P(B при условии A) это разные числа. Учебная задача: болезнь у одного из тысячи, тест находит всех больных, но даёт 5 % ложных срабатываний у здоровых. Вероятность болезни при положительном результате равна не 95 %, а около 2 %. Результат теста не читается без базовой частоты, а считать такие задачи проще в естественных частотах.

MIT 18.05, занятие 3 · Stat 110, лекции 3-4 · 45 мин · обновлено 01.10.2026

Пример учебный, числа придуманы. Решить её стоит до того, как читать дальше. Болезнь встречается у одного человека из тысячи. Тест устроен так, что находит болезнь у всех больных, без единого пропуска. У здоровых он даёт положительный результат в 5 % случаев. Вам пришёл положительный результат. Какова вероятность, что вы больны?

В ответ обычно звучит 95 %, «около девяноста», «почти наверняка». Правильный ответ равен примерно 2 %. Это не парадокс и не подвох: ниже он получается пересчётом на пальцах, без единой формулы.

Расхождение между 95 % и 2 % не курьёз, а главная причина неверного чтения любых проверок: медицинских, охранных, антифродовых, алгоритмических. И держится оно на одной путанице, которую этот урок разбирает.

Условная вероятность: мир сузился

Условная вероятность P(A при условии B) это вероятность A в мире, где B уже произошло. Технически: выбрасываются все исходы, где B не случилось, и считается доля A среди оставшихся.

Проверим на костях, где все исходы можно пересчитать руками. Бросаем две кости: 36 равновероятных исходов. Сумма 11 или больше даёт три исхода, а именно (5,6), (6,5) и (6,6), то есть безусловная вероятность 3/36 = 1/12, около 0,083.

Теперь спросим иначе: какова вероятность, что сумма не меньше 11, если на первой кости шестёрка? Мир сузился до шести исходов, где на первой кости шестёрка. Из них подходят два: (6,5) и (6,6). Ответ равен 2/6, то есть 1/3.

И обратный вопрос: какова вероятность, что на первой кости шестёрка, если известно, что сумма не меньше 11? Теперь мир сузился до трёх исходов. Из них шестёрка на первой кости в двух. Ответ выходит 2/3.

Одна и та же пара событий, два вопроса, а ответы 1/3 и 2/3 расходятся вдвое. Никакой ошибки здесь нет: это разные вопросы, и знаменатели у них разные. В первом случае делили на шесть, во втором на три.

Отсюда правило, которое стоит держать наготове: у условной вероятности всегда есть знаменатель, и весь вопрос в том, какой. Перепутать P(A при условии B) с P(B при условии A) значит поделить на не то число.

Ошибка прокурора

У этой подмены есть имя, полученное по месту, где она обходится дороже всего, и это ошибка прокурора. Структура рассуждения такая: свидетельство встречается у невиновных крайне редко, следовательно обвиняемый почти наверняка виновен.

Разберём на числах. Пусть некоторый признак, например редкий след, совпадение по образцу или характерная деталь, встречается у одного человека из десяти тысяч. У обвиняемого он есть. Прокурор говорит: у невиновного такое совпадение имеет вероятность одна десятитысячная, то есть 0,0001, значит вероятность невиновности ничтожна.

Первое число верно, а вывод нет. Посчитаем вторую сторону. В городе живёт два миллиона взрослых. Признаком обладают примерно 200 из них. Если обвиняемого связывает с делом только этот признак, то он один из двухсот человек, у которых он тоже есть. Вероятность того, что виновен именно он, равна 1/200, то есть 0,005. Не одна десятитысячная в пользу вины, а 199 шансов из 200 в пользу невиновности.

Числа 0,0001 и 0,005 расходятся в пятьдесят раз, и расхождение получено исключительно из того, что во втором расчёте участвует размер группы, среди которой ищут. Прокурор считал долю среди невиновных, а отвечать надо было о доле среди обладателей признака.

То же самое устройство работает далеко за пределами суда. «Алгоритм ошибается в одном случае из тысячи». Доля среди чего? «Такое совпадение случайно бывает раз в миллион лет». При скольких попытках? Всякий раз, когда названа вероятность улики при невиновности, а вывод делается о вероятности невиновности при улике, произошла ровно эта подмена.

Сама по себе редкость признака при этом остаётся ценной: она сократила круг с двух миллионов до двухсот, и это огромное сокращение. Ошибка не в том, что признак учли, а в том, что на нём остановились и назвали результат доказательством. Правильная формулировка звучит скромнее и честнее: признак поднял вероятность вины с одной двухмиллионной до одной двухсотой, то есть в десять тысяч раз, но от единицы она по-прежнему далека, и решает дело то, что будет добавлено к нему.

Естественные частоты вместо формулы

Теперь вернёмся к тесту. Приём, которым мы его посчитаем, называется естественными частотами: вместо вероятностей берутся люди. В литературе по психологии суждения этот способ подачи связывают с работами Герда Гигеренцера, и суть его в том, что задача, нерешаемая большинством в процентах, решается тем же большинством в людях.

Возьмём 10 000 человек и проведём их через условие задачи по шагам.

Шаг первый. Болезнь у одного из тысячи, значит из 10 000 человек больны 10, здоровы 9 990.

Шаг второй. Тест находит болезнь у всех больных, значит все 10 больных получат положительный результат.

Шаг третий. Тест ошибается у 5 % здоровых, значит из 9 990 здоровых положительный результат получат примерно 500 человек.

Шаг четвёртый. Всего положительных результатов получается 10 + 500 = 510. Из них действительно больны 10.

Доля больных среди получивших положительный результат равна 10 / 510, это 0,0196, то есть примерно 2 %. Из каждых пятидесяти одного человека с тревожным результатом болен один.

Заметьте, что ни одна формула не понадобилась, а в расчёте участвовали всего три числа условия. И заметьте, где именно ломается интуиция: она берёт 5 % ложных срабатываний и вычитает из ста, получая 95 %. Но 5 % считаются от девяти тысяч здоровых, а 100 % от десяти больных. Пять процентов от большой группы дают в пятьдесят раз больше людей, чем сто процентов от маленькой.

Формально то же самое записывается теоремой Байеса: вероятность болезни после теста равна вероятности положительного результата у больных, умноженной на базовую частоту болезни и делённой на общую вероятность положительного результата. Словами короче: апостериорная вероятность пропорциональна правдоподобию, умноженному на априорную. Подсчёт по 10 000 человек это она и есть, только числитель и знаменатель выписаны людьми.

Тот же тест, другая группа

Самое важное следствие из этого счёта состоит не в числе 2 %, а в том, что оно вообще не является свойством теста.

Проведём тот же расчёт для группы, в которой болезнь встречается у одного из двадцати: так бывает, когда тестируют не всех подряд, а обратившихся с жалобами. Из 10 000 человек больны 500, здоровы 9 500. Все 500 больных получают положительный результат. Из 9 500 здоровых ложноположительный результат получают 5 %, то есть 475 человек. Всего положительных выходит 975, из них больны 500.

Доля больных среди положительных равна 500 / 975, это около 0,51, то есть примерно 51 %.

Полезно посмотреть и на вторую половину той же таблицы, о которой обычно забывают. В первом расчёте отрицательный результат получили 9 490 человек, и все они здоровы: тест не пропускает больных, значит отрицательный ответ снимает вопрос полностью. Один и тот же тест в одной и той же задаче оказывается почти неинформативным при срабатывании и исчерпывающим при молчании. Спрашивать «насколько точен тест» вообще неправильно поставленный вопрос: точность у положительного и отрицательного результата разная, и обсуждать их нужно порознь.

Один и тот же тест, одна и та же чувствительность, одна и та же доля ложных срабатываний. В одной группе положительный результат означает вероятность болезни 2 %, в другой 51 %. Разница в двадцать пять раз произведена целиком тем, кого решили проверять.

Это и есть рабочий вывод урока. Характеристики теста, чувствительность и доля ложных срабатываний, не отвечают на вопрос пациента. Они описывают поведение теста при известном диагнозе, то есть отвечают на вопрос «что покажет тест у больного». Вопрос «болен ли я, раз тест положителен» требует третьего числа, базовой частоты в той группе, к которой человек принадлежит, и без него не имеет ответа вообще.

Отсюда общее правило чтения любых проверок, от медицинских до антифродовых: чем реже событие, тем большую долю среди срабатываний составляют ложные. Скрининг редкого события даёт много ложных тревог не потому, что инструмент плох, а потому, что здоровых, честных, безопасных много, и малая доля от большой группы перевешивает большую долю от маленькой.

Что делать с этим на практике

Три приёма, которые закрывают большую часть ошибок этого типа.

Первый: переводить проценты в людей. Любое условие про вероятности переписывается на 1 000 или 10 000 человек, и дальше задача решается счётом. Это не упрощение для непонимающих, а тот же расчёт с выписанным знаменателем.

Второй: всегда спрашивать про третье число. В сообщениях о точности почти всегда названы два числа из трёх: сколько больных тест находит и как часто ошибается у здоровых. Базовая частота отсутствует, потому что она не свойство прибора, а свойство группы. Без неё ни один вывод о конкретном человеке невозможен.

Третий: проверять направление условия. Записывать, что при чём: «доля среди больных» или «доля среди положительных». Ошибка прокурора и ошибка чтения теста сводятся к одному и тому же действию, выполненному в разных областях.

И последнее, что стоит унести из урока. Теорема Байеса здесь применена один раз, но её обычное употребление другое: она описывает обновление и говорит о том, как менялась бы оценка при поступлении новых свидетельств одно за другим. Второй тест после первого положительного считается той же процедурой, только базовой частотой для него служат уже полученные 2 %. Этому посвящён шестой модуль курса, и там же разбирается, что делать, когда априорная вероятность неизвестна.

Вопросы для самопроверки

Что читать

• MIT 18.05, конспект занятия 3: Условная вероятность, формула полной вероятности и теорема Байеса с решёнными задачами о тестах.
• Blitzstein, Hwang, «Introduction to Probability», probabilitybook.net: Главы 2-3: условная вероятность как основное понятие и задачи о ложноположительных результатах. Лекции 3 и 4 курса Stat 110 покрывают тот же материал устно.