Что такое вероятность
Что можно проверить в утверждении «вероятность дождя 30 %»
Вероятность события означает долю, к которой стремится частота его появления при неограниченном повторении опыта в одинаковых условиях. Поэтому «вероятность дождя 30 %» проверяется не по одному дню, а калибровкой: из всех дней с таким прогнозом дождь должен идти примерно в трёх из десяти. Арифметика вероятностей держится на правилах сложения, умножения и дополнения, причём правило умножения работает только при независимости событий.
MIT 18.05, занятия 1-2 · Stat 110, лекции 1-2 · 45 мин · обновлено 01.10.2026
После урока вы сможете
- Формулировать вероятность как долю в длинной серии и указывать, чем эту долю проверить
- Считать составные вероятности через правила сложения, умножения и дополнения
- Проверять допущение независимости вместо того, чтобы принимать его по умолчанию
- Опознавать ошибку игрока и обратную ей ошибку «горячей руки» в готовых рассуждениях
Синоптик сказал: вероятность дождя завтра 30 %. Назавтра шёл дождь. Синоптик ошибся?
По одному дню сказать нельзя ничего. Прогноз в 30 % не запрещает дождю идти, он утверждает нечто другое и куда более проверяемое. Возьмите все дни, в которые этот синоптик обещал 30 %, и пусть их набралось двести. Если дождь шёл примерно в шестидесяти из них, прогноз хорош. Если в ста сорока, прогноз плох, и это установлено, а не почувствовано.
Отсюда весь урок. Вероятность не измеряет уверенность говорящего и не принадлежит отдельному событию. Это утверждение о доле в длинной серии, и оно проверяется счётом.
Что именно проверяется
Определение, с которым будет работать курс: вероятностью события называют ту долю, к которой стремится частота его появления при неограниченном повторении опыта в одинаковых условиях. Вероятность 0,3 означает: в длинной серии таких дней дождь будет примерно в трёх из десяти.
Проверка такого утверждения называется калибровкой и делается тривиально. Собираются все случаи, где было объявлено одно и то же число. Считается доля тех, где событие произошло. Два числа сравниваются. Так проверяют прогнозы погоды, оценки кредитного риска, предсказания аналитиков. Отдельное предсказание проверить нельзя, а набор можно.
Отсюда следует то, что ломает большинство бытовых споров о вероятности: у единичного неповторимого события частотной вероятности нет. «Вероятность, что этот конкретный проект провалится, равна 40 %» не проверяется ничем, если проект один. Утверждение станет проверяемым, только если говорящий регулярно раздаёт такие оценки: тогда можно взять все его сорокапроцентные прогнозы и посчитать.
У вероятности есть и вторая трактовка, она говорит о степени обоснованного убеждения, которую можно приписывать и единичным событиям. Она законна, работает по тем же правилам и составляет предмет шестого модуля. Пока важно другое: какую бы трактовку вы ни выбрали, арифметика ниже одна и та же, и ошибки в ней делаются одинаковые.
Спросите: в какой серии эту долю можно посчитать? Если серии нет и говорящий не выдаёт такие оценки регулярно, число выражает его уверенность, а не измеренную частоту. Это не запрещено, но и проверить его нечем, а путать одно с другим не стоит.
Три правила и одно, которое важнее остальных
Вся арифметика вероятностей держится на трёх правилах. Каждое разберём на числах, которые можно проверить в уме.
Правило сложения. Вероятность того, что произошло A или B, равна сумме их вероятностей минус вероятность того, что произошли оба. Вычитание нужно, чтобы не посчитать пересечение дважды. Из ста сотрудников шестьдесят читают рабочую почту с телефона, тридцать с планшета, двадцать делают и то и другое. Тех, кто читает хотя бы с одного устройства, не девяносто, а 60 + 30 − 20 = 70. Ошибка в двадцать человек возникает от одного забытого вычитания.
Правило умножения. Вероятность того, что произошли и A, и B, равна произведению их вероятностей, если события независимы. Оговорка здесь главное, к ней вернёмся отдельно.
Правило дополнения. Вероятность того, что событие не произошло, равна единице минус вероятность того, что произошло. Выглядит тривиально и на практике решает больше задач, чем два предыдущих правила вместе.
Вот почему. Прямой подсчёт вероятности «хотя бы одного» требует перебора всех случаев: одно, два, три и так далее. Подсчёт через дополнение требует одного умножения. Бросаем две игральные кости, спрашиваем вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки. Наивный ответ даёт 1/6 + 1/6 = 1/3. Правильный: вероятность, что шестёрки нет ни на одной, равна 5/6 × 5/6 = 25/36. Значит, хотя бы одна шестёрка выпадает с вероятностью 11/36, то есть примерно 0,306. Наивный ответ завышен ровно на вероятность выпадения двух шестёрок сразу, на 1/36.
Второй пример, уже не про кости. Операция отказывает в одном случае из ста, отказы независимы, операций за квартал сто. Вероятность, что не откажет ни разу, равна 0,99 в сотой степени, это примерно 0,366. Значит, хотя бы один отказ случится с вероятностью около 0,634. Событие, названное редким, происходит чаще, чем не происходит, и всё, что для этого понадобилось, это повторить его сто раз.
Редкое для одного и частое для всех
Интуиция плохо работает с малыми вероятностями, и ломается она в обе стороны сразу.
Возьмём лотерею, где надо угадать шесть номеров из сорока пяти. Число возможных комбинаций равно 8 145 060, а вероятность выигрыша с одного билета примерно одна восьмимиллионная. Покупая билет каждую неделю пятьдесят лет, вы купите около 2 600 билетов. Вероятность выиграть хотя бы раз за эти полвека выходит примерно 2 600 / 8 145 060, то есть около одной трёхтысячной. Полвека еженедельной покупки дают шанс порядка одного к трём тысячам.
А теперь та же лотерея со стороны организатора. Если в тираже продаётся три миллиона билетов, ожидаемое число выигравших билетов равно 3 000 000 / 8 145 060, примерно 0,37. Джекпот берут примерно раз в три тиража, и в новостях он появляется регулярно. Оба числа посчитаны из одной вероятности, и оба верны: событие, практически недостижимое для человека, для системы происходит постоянно.
Это и есть первый источник ошибок с редкими событиями. Второй оказывается обратным: невероятное совпадение, случившееся хоть с кем-то, воспринимается как требующее объяснения. Если некое совпадение имеет вероятность одна миллионная за год для одного человека, то в стране на сто миллионов человек оно происходит около ста раз в год. Найти после этого одного человека, с которым оно произошло, и удивиться значит забыть, из скольких кандидатов он выбран.
Держать в голове стоит простую перестановку вопроса: не «какова вероятность, что это случилось именно с ним», а «каково ожидаемое число таких случаев вообще». Первое число всегда крошечное и всегда бесполезное. Второе получается умножением на количество попыток и обычно объясняет всё.
Посылка требует числа, которого у говорящего почти никогда нет: сколько было попыток. Совпадение, невероятное для одной попытки, становится ожидаемым при миллионе попыток, а попыток обычно и есть миллион, просто их не считали, потому что заметили только удачную.
Независимость: допущение, а не свойство
Два события независимы, если наступление одного не меняет вероятности другого. Только при этом условии вероятности можно перемножать, и именно здесь делается самая дорогая ошибка в прикладных расчётах.
Причина в том, что независимость принимают по умолчанию: если связь между событиями не бросается в глаза, их считают несвязанными. Но отсутствие видимой связи и независимость это разные вещи. Связь может идти через общую причину, о которой считающий не подумал.
Цена ошибки считается легко. Пусть отказ узла имеет вероятность 0,01, и узлов в системе два. При независимости вероятность отказа обоих равна 0,01 × 0,01 = 0,0001, один случай на десять тысяч. Теперь предположим, что оба узла питаются от одного источника, и при его сбое второй отказывает с вероятностью 0,5, если отказал первый. Тогда вероятность отказа обоих выходит 0,01 × 0,5 = 0,005, один случай на двести. Разница в пятьдесят раз, и получена она не из новых данных, а из одного пересмотренного допущения.
Чем длиннее цепочка перемножений, тем сильнее расхождение. Десять событий с вероятностью 0,01 каждое при независимости дают в произведении десять в минус двадцатой степени, и любой человек прочтёт такое число как «невозможно». При общей причине то же самое может случиться с вероятностью порядка 0,01. Между «невозможно» и «раз в сто раз» здесь стоит одно недоказанное слово.
Практический вывод: каждое перемножение вероятностей это утверждение о независимости, и оно требует обоснования наравне с самими числами. Задавать надо не вопрос «связаны ли эти события», а вопрос «что могло бы связать их так, чтобы я этого не заметил»: общий поставщик, общая методика измерения, общее время, общий человек, принимавший решение.
Ошибка игрока и её зеркало
Монета выпала орлом пять раз подряд. Что вероятнее на шестом броске?
Ошибка игрока отвечает: решка, потому что должна же выровняться. Монета не помнит предыдущих бросков. Вероятность решки на шестом броске равна 0,5, как и на первом. Путаница возникает от смешения двух разных вопросов. Вероятность выпадения шести орлов подряд, посчитанная заранее, действительно мала: 1/64, около 0,016. Но пять орлов уже выпали, они больше не случайны, и остаётся ровно один бросок с вероятностью 0,5.
Ошибка «горячей руки» зеркальна и встречается не реже: серия воспринимается как доказательство того, что процесс изменился, что игрок «поймал волну», а трейдер нащупал систему. Проблема не в том, что процессы не меняются. Иногда меняются. Проблема в том, что серии возникают в случайной последовательности постоянно, и сама по себе серия ничего не доказывает.
Насколько постоянно, можно посчитать. В двадцати бросках монеты есть семнадцать позиций, с которых может начаться серия из четырёх орлов. Вероятность такой серии на конкретной позиции равна 1/16. Ожидаемое число окон из четырёх орлов подряд выходит 17/16, чуть больше одного. То есть в случайной двадцатке серия из четырёх орлов остаётся рядовым явлением, а не аномалией. В сотне бросков окон длины пять ожидается 96/32, то есть примерно три. Человек, увидевший такую серию, назовёт её неслучайной, а счёт говорит, что она обычна.
Правильный ход в обоих случаях один: сравнить наблюдаемое с тем, что дала бы чистая случайность. Не «выглядит закономерно» и не «выглядит случайно», а «сколько таких серий ожидалось бы, если бы вероятность не менялась». Эта процедура служит заготовкой для всего четвёртого модуля курса.
И последняя оговорка, которая важнее, чем кажется. Всё сказанное про монету верно при условии, что монета честная. Если в честности есть сомнение, длинная серия орлов уже становится свидетельством, но свидетельством не о том, что решка «догонит», а о том, что монета несимметрична. Это ровно противоположное направление вывода, и разбирается оно в следующем уроке.
И ошибка игрока, и «горячая рука» происходят от неверного представления о том, как выглядит случайность. Она выглядит комковато: с сериями, скоплениями и пустотами. Человек, которого просят написать «случайную» последовательность, чередует символы слишком часто, и по этому признаку выдуманные данные отличают от настоящих.
Ключевые работы
| Orloff, Kamrin, MIT 18.05 «Introduction to Probability and Statistics» | 2022 | Конспекты занятий 1-2, комбинаторика и основы вероятности: пространство элементарных исходов, правила сложения и умножения, независимость. |
| Blitzstein, Hwang, «Introduction to Probability», Chapman & Hall | 2014 | Учебник курса Stat 110: вероятностные пространства и независимость с разбором того, почему независимость почти никогда не следует из отсутствия видимой связи. |
Что здесь путают
Монета не хранит истории. Вероятность решки на шестом броске остаётся 0,5, как и на первом. Смешиваются два разных вопроса: вероятность шести орлов подряд, посчитанная до начала серии, равна 1/64, но пять бросков уже состоялись и перестали быть случайными. Закон больших чисел, на который обычно ссылаются, действительно уравнивает доли, но за счёт разбавления прошлого новыми бросками, а не за счёт компенсации. Разбор этого ждёт в шестом уроке.
Перемножение законно только при независимости, а независимость это утверждение, которое надо обосновывать, а не отсутствие возражений. Два узла с вероятностью отказа 0,01 при независимости отказывают вместе с вероятностью 0,0001. При общем источнике питания, дающем условную вероятность 0,5, они отказывают вместе с вероятностью 0,005. Пятидесятикратное расхождение получено без единого нового измерения. Чем длиннее цепочка перемножений, тем сильнее расходятся оценки, и в длинных цепочках результат обычно определяется допущением, а не данными.
Верно для одной попытки у одного человека и неверно для системы. Умножьте вероятность на число попыток: одна миллионная за год на сто миллионов человек даёт около ста случаев в год. Именно поэтому «невероятные совпадения» происходят регулярно и не требуют объяснения сверх арифметики. Практическое правило: малая вероятность становится осмысленной только вместе с числом попыток, а число попыток почти никогда не называют.
Термины
- вероятностьprobability
- Доля, к которой стремится частота события при неограниченном повторении опыта в одинаковых условиях.
- пространство элементарных исходовsample space
- Множество всех возможных результатов опыта. У двух костей оно состоит из 36 равновероятных исходов.
- событиеevent
- Подмножество исходов, о котором задаётся вопрос: «хотя бы одна шестёрка», «сумма больше десяти».
- правило сложенияaddition rule
- Вероятность «A или B» равна сумме вероятностей минус вероятность их совместного наступления.
- правило умноженияmultiplication rule
- Вероятность «A и B» равна произведению вероятностей, но только при независимости событий.
- правило дополненияcomplement rule
- Вероятность того, что событие не произошло, равна единице минус его вероятность. Основной приём для задач про «хотя бы один».
- независимостьindependence
- Свойство пары событий, при котором наступление одного не меняет вероятности другого. Допущение, требующее обоснования.
- калибровкаcalibration
- Проверка набора вероятностных прогнозов: совпадает ли объявленная вероятность с наблюдаемой долей событий.
- ошибка игрокаgambler's fallacy
- Убеждение, что после серии одинаковых исходов противоположный становится вероятнее.
- ожидаемое число событийexpected count
- Вероятность, умноженная на число попыток. Обычно информативнее самой вероятности.
Практикум · Сто бросков и одно допущение
Нужны монета или генератор случайных чисел, лист бумаги и полчаса. Задача состоит в том, чтобы увидеть своими глазами, как выглядит случайность, и один раз проверить допущение независимости на чужом рассуждении.
- Сделайте 100 бросков монеты (или получите 100 случайных значений 0 и 1) и запишите последовательность подряд, не группируя.
- Выпишите долю орлов после 10, 20, 50 и 100 бросков, всего четыре числа. Посмотрите, насколько они гуляют в начале и как сближаются с 0,5 к концу.
- Найдите самую длинную серию одинаковых исходов. Сравните с расчётом, но осторожно: в уроке посчитаны окна из пяти орлов подряд, и таких ожидается 96/32, около трёх. Серия из пяти одинаковых исходов это либо пять орлов, либо пять решек, поэтому вероятность окна вдвое выше, 2/32, а ожидание выходит 96/16, то есть около шести. Отметьте, показалась ли вам ваша самая длинная серия неслучайной до этого подсчёта.
- Возьмите бытовое событие, которое случается с вами примерно раз в год: поломка, опоздание рейса, потерянный документ. Оцените его вероятность за один день (порядка 1/365) и посчитайте по правилу дополнения вероятность хотя бы одного случая за 30 дней и за год. Сравните с тем, сколько раз оно действительно случилось.
- Найдите в новости, отчёте или рекламе утверждение, где вероятности перемножены или где сказано «вероятность такого совпадения ничтожна». Напишите одно предложение: какое допущение о независимости там сделано и какая общая причина могла бы его нарушить.
Вопросы для самопроверки
Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что хотя бы на одной выпадет шестёрка?
- 1/3: по 1/6 на каждую кость, вероятности складываются
- 1/36: нужно, чтобы шестёрка выпала на обеих костях
- 11/36: единица минус 25/36
- 1/6: вторая кость шансов не добавляет
Синоптик объявил вероятность дождя 30 %, и дождь пошёл. Что из этого следует?
- Прогноз был верен: 30 % это немало
- Вероятность надо было объявить выше 50 %
- Ничего: одно наблюдение прогноз не проверяет
- Прогноз был неверен, раз событие произошло
Операция отказывает с вероятностью 0,01, отказы независимы, за квартал выполняется 100 операций. Вероятность хотя бы одного отказа за квартал:
- около 0,01
- около 0,10
- ровно 1,0
- около 0,63
В отчёте о надёжности сказано: «Одновременный отказ обеих систем имеет вероятность 0,0001, то есть практически исключён». Какой вопрос здесь главный?
- На каком основании отказы считаются независимыми
- Достаточно ли точно измерена вероятность 0,01 для каждой системы
- Сколько всего систем в установке
- Не округлили ли 0,0001 в меньшую сторону
Игрок выиграл шесть ставок подряд и объявляет, что нащупал систему. Что можно сказать?
- Шесть подряд слишком маловероятны, чтобы быть случайностью: такая серия встречается реже одного раза на тысячу игроков
- Серия сама по себе не свидетельство: такие серии случайность даёт регулярно
- Вопрос неразрешим: вероятности здесь неприменимы
- Вероятность выигрыша на седьмой ставке теперь ниже: длинные серии редки, и каждая следующая ставка выравнивает счёт
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- MIT 18.05, конспекты занятий 1-2: Комбинаторика и основы вероятности с задачами и решениями. Разбираются те же правила, но строже и с большим числом упражнений.
- Blitzstein, Hwang, «Introduction to Probability», probabilitybook.net: Первые две главы: пространство исходов, аксиомы, независимость. Учебник открыт бесплатно.