Дизъюнкция: логическое «или», которое допускает «и то, и другое»

Дизъюнкция это логическая связка «или» во включающем смысле. Запись P ∨ Q ложна ровно в одном случае из четырёх: когда ложны обе части. Она истинна, когда верна хотя бы одна часть, и в том числе когда верны обе. Русское «или» часто означает выбор одного из двух, и это главное место, где язык и логика расходятся.

Таблица истинности

Четыре строки. Оба истинны: дизъюнкция истинна. Истинно только P: истинна. Истинно только Q: истинна. Оба ложны: ложна. Столбец И И И Л. Это зеркало конъюнкции: там одна истинная строка, здесь одна ложная.

Дизъюнкцию можно было бы не вводить вовсе: «P или Q» означает «неверно, что не P и не Q», то есть ¬(¬P ∧ ¬Q). Перебор занимает минуту. Оба истинны: «не P» и «не Q» ложны, «и» ложно, отрицание даёт истину. Истинно только P: «не Q» истинно, «не P» ложно, «и» ложно, отрицание даёт истину. Только Q зеркально. Оба ложны: «не P» и «не Q» истинны, «и» истинно, отрицание даёт ложь. Столбец вышел тот же.

Включающее и исключающее «или»

«Кофе или чай?» в кафе подразумевает одно из двух. «Скидка студентам или пенсионерам» подразумевает хотя бы одно, и студент-пенсионер скидку получает. Логика берёт за основу второй, включающий смысл, потому что он проще и через него выражается первый: исключающее «или» записывается как (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q), то есть «хотя бы одно, но не оба».

Практический навык состоит в том, чтобы в договоре, законе или условии задачи спросить, какое «или» имелось в виду. Договор, где это не уточнено, читается сторонами по-разному, и спор о нём почти всегда спор о связке.

Где ошибаются

Первая ошибка: считать дизъюнкцию ложной, когда верны обе части. «Он либо устал, либо болен» при уставшем и больном человеке истинно, если «или» включающее, и это самый частый случай в рассуждениях.

Вторая ошибка: отрицать «или» как «и». «Неверно, что он придёт в среду или в четверг» значит «не придёт ни в среду, ни в четверг», обе части ложны. Это второй закон де Моргана, и на нём держится проверка алиби, условий гарантии и любых перечней.

Вопросы

Как обозначается дизъюнкция?

Знаком ∨, в программировании || или or. Читается «P или Q».

Когда дизъюнкция ложна?

Только когда ложны обе части. Если верна хотя бы одна, дизъюнкция истинна.

Что такое строгая дизъюнкция?

Исключающее «или»: истинно, когда верна ровно одна часть. Записывается через уже введённые связки как (P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q), отдельного знака ей не нужно.