Чувство числа
Оценка количества без пересчёта и что она говорит об устройстве
Приблизительная система оценки количества это внутреннее представление величины множества, работающее без пересчёта и без слов: ответ быстрый и приблизительный, а разброс ошибки растёт вместе с числом. Различимость задаётся отношением количеств, а не разностью: 10 и 13 точек различаются легко, 100 и 103 уже нет, зато 100 и 130 так же уверенно, как 10 и 13. Для множеств до четырёх-пяти элементов работает другой механизм, субитизация.
MIT 9.13, раздел о числе · Piazza и др., 2004 · Shuman, Kanwisher, 2004 · Pica и др., 2004 · 45 мин · обновлено 01.10.2026
После урока вы сможете
- Отличать приблизительную оценку количества от счёта по поведенческой сигнатуре
- Объяснять, почему падение точности с ростом числа говорит о представлении величины
- Реконструировать логику адаптационного эксперимента с количеством
- Называть, что в вопросе о «числовой области» теменной коры остаётся спорным
На стол высыпают горсть мелочи и тут же накрывают ладонью. Сколько монет? Если их три, ответ приходит сразу и он верен, причём вы не считали, а просто увидели. Если их семнадцать, вы скажете «пятнадцать» или «двадцать». Ошибётесь, но не в разы: «пять» или «пятьдесят» в голову не придут.
Эти два ответа даёт не одно и то же устройство, работающее с разной нагрузкой. Их различают по поведению: первый быстрый и точный, второй быстрый и неточный, и его неточность подчиняется правилу, которое стоит рассмотреть внимательно, потому что из него следует главный вывод урока.
Вопрос здесь тот же, что и в модуле о лицах: есть ли у количества собственное оборудование и чем это показано. Ответ на первую половину вопроса выглядит убедительно. Ответ на вторую не столь убедителен, и это редкий случай, когда две работы, вышедшие в одном номере одного журнала, дают противоположный результат.
Сигнатура, по которой узнают приблизительную систему
Начнём с малых количеств. В 1949 году Кауфман, Лорд, Риз и Фолькман показывали людям точки на доли секунды и просили назвать их число. При установке на точность ответ был практически безошибочным для множеств до пяти элементов, а дальше рассыпался. Для этого быстрого и уверенного отчёта авторы ввели отдельное слово: субитизация.
Дальше пяти начинается другое поведение. Ответ по-прежнему приходит быстро, но он приблизителен, и величина ошибки не постоянна: она растёт вместе с числом. Растёт не как попало. Отличить 10 точек от 13 легко. Отличить 100 от 103 невозможно, хотя различие то же самое, в три точки. А вот 100 и 130 различаются примерно так же уверенно, как 10 и 13.
Это и есть сигнатура: различимость двух количеств задаётся их отношением, а не разностью. Правило старое и не специфичное для числа, так же ведут себя различение веса, яркости и громкости. В психофизике оно известно как закон Вебера и разобрано в курсе психологии. Для нас важно другое: раз оценка количества этому закону подчиняется, количество ведёт себя как ощущаемая величина вроде яркости, а не как результат пересчёта.
Количественно тонкость различения выражают долей Вебера, наименьшим отношением двух количеств, при котором человек ещё отвечает надёжно. Само по себе это число ничего не объясняет: оно лишь сводит поведение к одной величине, которую потом можно с чем-нибудь сопоставлять, хоть с возрастом, хоть с другой задачей, хоть с другим человеком. Но именно оно делает утверждение проверяемым: без него «оценка приблизительна» остаётся впечатлением, а с ним появляется предсказание, которое может и не сбыться.
Почему это не быстрый счёт
Возражение напрашивается: может быть, человек всё-таки считает, просто очень быстро, а ошибки идут от спешки. Возражение проверяемо, и проверка служит хорошим образцом того, как в этом курсе устроен вывод. Спросим, что было бы видно, будь оно так.
Счёт это перебор по одному. У него две узнаваемые черты. Время растёт примерно линейно с числом: двадцать предметов пересчитываются вдвое дольше десяти. И ошибка возникает от сбоя, от потери места, пропуска, двойного захода. Её величина от размера множества почти не зависит: сбившись, вы промахнётесь на один-два предмета и при десяти, и при сорока.
Наблюдается не это. Время ответа при оценке от числа почти не зависит, а в опытах с коротким предъявлением пересчитать точки физически нельзя. Ошибка же растёт пропорционально числу. Это ровно то, чего от счёта ждать не следует, и ровно то, чего следует ждать от зашумлённого представления величины: чем больше величина, тем шире её внутренний разброс.
У младенцев, ещё не владеющих числительными, и у других видов описан тот же набор признаков, та же приблизительность, та же зависимость от отношения, тот же рост разброса с числом. Обзор Файгенсон, Деана и Спелке (2004) сводит эти данные и формулирует рамку, которой область пользуется до сих пор: систем не одна, а две. Одна точно представляет малые наборы отдельных предметов, вторая приблизительно представляет большие количества.
Что даёт язык и чего не даёт
Если приблизительная система работает без числительных, то что делают числительные? Ответ дала полевая работа Пики, Лемер, Изар и Деана (2004) с носителями языка мундуруку в Амазонии. В этом языке нет числительных свыше пяти.
Носители мундуруку уверенно сравнивали большие количества и приблизительно складывали их, то есть работали далеко за пределами того, что их язык умеет называть. И они не справлялись с точной арифметикой на числах больше четырёх-пяти: там, где требовался ровный результат, а не выбор большего из двух множеств, задача становилась недоступной.
Вывод авторов: приблизительная система от языка не зависит, точный счёт зависит. Точное число требует средства, которое удерживает «ровно семь» отдельно от «ровно восемь», а внутренняя величина этого не удерживает: у неё семь и восемь перекрываются.
Диссоциация есть и на клиническом материале. Чиполотти, Баттеруорт и Денес (1991) описали пациентку C. G. после поражения левой теменной доли. Работа с числами меньше четырёх сохранилась во всех задачах и всех модальностях. Работа с числами больше четырёх исчезла полностью, при сохранных речевых и рассуждательных задачах и нормальном IQ. Это учебный материал, а не медицинское описание, и один случай сам по себе ничего не доказывает, но он показывает, что граница между двумя системами способна проходить по живой ткани.
Стоит добавить и то, что происходит на другом конце шкалы. Амальрик и Деан (2016) сканировали профессиональных математиков, размышляющих над утверждениями из алгебры, анализа, топологии и геометрии. Активировалась воспроизводимая двусторонняя сеть лобных, внутритеменных и височных областей, не перекрывающаяся с классическими левополушарными областями языка и словесной семантики. То есть высшая математика, для которой язык, казалось бы, необходим, идёт мимо языковой сети.
Работа с мундуруку не была лабораторным экспериментом с сотнями участников: это малая выборка, переводимые инструкции и непривычная для испытуемых процедура. Держится вывод не на ней одной, а на совпадении с независимыми линиями: младенцами, животными и клиническими случаями. Одиночная экзотическая находка, не подпёртая ничем другим, столько веса не выдерживает.
Что известно о теменной коре и в чём спор
Теперь про оборудование. Прямая запись есть у обезьяны: Нидер и Миллер (2004) нашли, что наибольшая доля нейронов, избирательных к количеству, сосредоточена в глубине внутритеменной борозды и что эти нейроны отвечают раньше префронтальных. У человека прямой записи нет, и вопрос решался фМРТ.
Разница между этими двумя источниками существенна. Запись у обезьяны показывает отдельную клетку и её предпочтение. фМРТ у человека показывает суммарный кровоток в кубике ткани, где таких клеток сотни тысяч вперемешку с любыми другими. Из «в этом кубике сигнал выше» не следует, что в нём есть избирательные клетки: тот же результат даст равномерное усиление работы всех клеток подряд. Поэтому обезьяний результат на человека не переносится, а получить у человека столь же прямой ответ пока нечем.
Пьяцца с коллегами (2004) применили приём, который в курсе встретится не раз. Испытуемому долго показывают множества из одного и того же числа точек, скажем шестнадцати, меняя при этом размер точек, их расположение и плотность. Отклик области, которая отслеживает численность, постепенно падает: она привыкает. Затем изредка вставляют множество другой численности, от половины стандарта до двойного, и смотрят, насколько отклик подскочит обратно.
Логика строгая: величина подскока показывает, насколько для этой области новое множество «другое». Во внутритеменной борозде с обеих сторон восстановление сигнала оказалось пропорционально отношению нового количества к стандарту, а не их разности. Это та же сигнатура, что и в поведении. На смену формы элементов те же участки не отвечали.
Казалось бы, вопрос закрыт. Но в том же номере журнала вышла работа Шумана и Канвишер (2004), проверявшая ровно то же предположение и не подтвердившая ни одного его следствия. Три эксперимента: различение количества против подобранного различения цвета, адаптация к повтору количества, рост отклика с трудностью задачи. Внутритеменная борозда отвечала на различение количества слабее, чем на различение цвета. Адаптации к количеству не нашлось. А отклик рос с трудностью задачи как таковой, независимо от того, о числе задача или нет.
Последнее наблюдение ключевое, и оно объясняет, почему спор вообще возможен. Задачи на количество труднее задач на цвет. А в лобной и теменной коре есть участки, отвечающие на трудность любой задачи, от арифметики до удержания в рабочей памяти и подавления помех (Федоренко, Дункан, Канвишер, 2013). Если контрольное условие легче основного, повышенная активация теменной коры может означать «здесь работали с числом», а может означать «здесь было тяжелее». Различить эти два объяснения способен только контроль по трудности.
Если в теменной коре есть участок, занятый именно количеством, то он должен привыкать к повторяемой численности и подскакивать на новую, отвечать на задачу о количестве сильнее, чем на равную по трудности задачу не о количестве, и сохранять это преимущество, когда трудность нарочно перевёрнута, то есть контрольная задача сделана труднее основной. Первый пункт получен в одной работе и не получен в другой, третий пока не выполнен никем.
Куда это ведёт
Итог распадается на две части неравной прочности. Поведенческая часть прочная: приблизительная оценка количества существует, работает без языка, подчиняется закону отношений и делит поле с точной системой для малых множеств. Мозговая часть шаткая: избирательные к количеству нейроны у обезьяны описаны, а вопрос о выделенной области у человека открыт.
Это нормальное состояние знания, и удерживать его стоит без раздражения. Слабое место не в приборах: обе работы 2004 года делались одним методом примерно одинакового качества. Слабое место в контрасте. Чтобы утверждать, что область занята числом, нужно контрольное условие, отличающееся от основного только числом и ничем больше. Подобрать такое условие оказалось трудно, потому что менять численность, не меняя заодно площадь, плотность и трудность, почти невозможно.
Отсюда же следует запрет, к которому курс возвращается постоянно. Встретив сообщение вроде «при виде ценника у покупателей включилась числовая область теменной коры, значит, они прикидывали выгоду», проверьте направление вывода. Даже будь избирательность области твёрдо установлена, из её активации не следовало бы, что человек занят числом. Рядом лежит разметка, отвечающая на трудность задачи, на внимание к пространству и на движения взгляда. Любое из этих объяснений годится не хуже. А поскольку избирательность как раз не установлена, рассуждение разваливается дважды. Разбору этого хода посвящён девятнадцатый урок. Здесь достаточно запомнить, что от «область активировалась» к «человек делал X» перехода нет.
Тренажёр к уроку строит вашу собственную кривую точности: вы оцениваете количества, не пересчитывая их, а он показывает, как ошибка зависит от числа. Если сигнатура верна, абсолютная ошибка на сорока окажется заметно больше, чем на десяти, а доля ошибки останется примерно постоянной. Ваши личные числа при этом почти наверняка разойдутся с чужими: разброс тонкости различения между людьми велик, и это отдельный сюжет модуля об индивидуальных различиях.
Оценка на глаз
Точки показываются на долю секунды, пересчитать невозможно. Назовите, сколько их было. Двадцать проб, потом посмотрим на вашу кривую точности.
Ключевые работы
| Kaufman, Lord, Reese, Volkmann, «The discrimination of visual number», American Journal of Psychology 62 | 1949 | Введён термин «субитизация»: при установке на точность отчёт о количестве при коротком предъявлении практически безошибочен до пяти элементов. |
| Pica, Lemer, Izard, Dehaene, «Exact and approximate arithmetic in an Amazonian indigene group», Science 306 | 2004 | Носители мундуруку, у которых нет числительных свыше пяти, сравнивают и приблизительно складывают большие количества, но не выполняют точную арифметику выше четырёх-пяти. |
| Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan, Dehaene, «Tuning curves for approximate numerosity in the human intraparietal sulcus», Neuron 44(3) | 2004 | Привыкание к постоянной численности с редкими девиантами: восстановление сигнала во внутритеменной борозде пропорционально отношению девианта к стандарту, а не разности. |
| Shuman, Kanwisher, «Numerical Magnitude in the Human Parietal Lobe», Neuron 44(3) | 2004 | Три проверки домен-специфичной теменной области для числа в том же номере журнала: ни одна не подтвердилась, отклик рос с трудностью задачи как таковой. |
| Cipolotti, Butterworth, Denes, «A specific deficit for numbers in a case of dense acalculia», Brain 114 | 1991 | Пациентка C. G. после левотеменного поражения сохранила работу с числами меньше четырёх во всех модальностях и полностью утратила работу с числами больше четырёх. |
Что подтвердилось, а что нет
У счёта две узнаваемые черты: время растёт линейно с числом, а величина ошибки от размера множества почти не зависит. Наблюдается обратное. Время от числа почти не меняется, а ошибка растёт пропорционально числу. В опытах с предъявлением на доли секунды пересчёт вдобавок физически невозможен. Сигнатура принадлежит зашумлённому представлению величины, а не процедуре перебора.
В узкой форме верно: точная арифметика без числительных не идёт, это и показала работа Пики и коллег (2004) на мундуруку. В широкой форме неверно: те же люди уверенно сравнивали и приблизительно складывали количества, далеко выходящие за пределы их числительных. Язык обслуживает точное число, а не работу с количеством вообще. Профессиональная математика, по данным Амальрик и Деана (2016), тоже идёт мимо языковой сети.
Две работы в одном номере Neuron за 2004 год дают противоположный ответ. У Пьяццы и коллег внутритеменная борозда привыкает к численности и подскакивает пропорционально отношению. У Шумана и Канвишер адаптации к численности нет, отклик на количество слабее, чем на подобранное различение цвета, а рост активации объясняется трудностью задачи. У обезьяны нейроны, избирательные к количеству, описаны прямой записью, и это отдельный, более прочный факт.
Сигнатура проверена с двух сторон. В мозге: Пьяцца с коллегами (2004) приучали участников к постоянной численности и подмешивали редкие отклонения. Восстановление сигнала во внутритеменной борозде оказалось пропорционально отношению отклонения к стандарту, а не разности. В поведении: носители мундуруку, у которых нет числительных свыше пяти, уверенно сравнивают и приблизительно складывают большие количества и не справляются с точной арифметикой выше четырёх-пяти (Пика, Лемер, Изар и Деан, 2004). Малый диапазон идёт отдельно и не по той же мерке: до четырёх-пяти элементов отчёт при коротком предъявлении практически безошибочен (Кауфман, Лорд, Риз и Фолькман, 1949). Уцелела сигнатура системы оценки. Существования в теменной коре отдельной области для числа из неё не следует, и эта позиция стоит рядом со статусом «спор открыт».
Термины
- приблизительная система оценки количестваapproximate number system
- Внутреннее представление величины множества, работающее без пересчёта и без слов: ответ быстрый и приблизительный, а разброс ответа растёт вместе с числом.
- субитизацияsubitizing
- Быстрый, уверенный и точный отчёт о количестве малого множества без пересчёта, примерно до четырёх-пяти элементов.
- нумерозностьnumerosity
- Число элементов множества как воспринимаемое свойство, независимое от их размера, плотности и расположения.
- закон ВебераWeber's law
- Правило, по которому различимость двух величин определяется их отношением, а не разностью. Выполняется для веса, яркости, громкости и для оценки количества.
- доля ВебераWeber fraction
- Наименьшее отношение двух количеств, при котором человек ещё различает их надёжно. Чем оно ближе к единице, тем тоньше различение.
- внутритеменная бороздаintraparietal sulcus
- Борозда в теменной доле. В её глубине у обезьяны найдена наибольшая доля нейронов, избирательных к количеству.
- фМРТ-адаптацияfMRI adaptation
- Приём, в котором повторение признака вызывает постепенное падение отклика, а смена признака даёт подскок. Величина подскока показывает, насколько область различает старое и новое.
- акалькулияacalculia
- Приобретённая при повреждении мозга утрата операций с числом, отличаемая от общего снижения рассуждения и от нарушения речи.
Практикум · Своя ошибка на реальных множествах
Задача в том, чтобы проверить на себе, какая из двух ошибок ведёт себя ровнее: абсолютная или относительная. Нужны множества разного порядка величины и честная фиксация первого ответа. Двадцать-тридцать минут.
- Выберите пять сцен с однородными предметами: книги на полке, машины в ряду, окна на фасаде, люди в очереди, стулья в зале. Нужны множества примерно на 8, 15, 30, 60 и 100 элементов. Точность подбора не важна, важен разброс по порядку величины.
- На каждую сцену посмотрите около секунды, отвернитесь и запишите оценку. Не пересчитывайте и не поправляйте себя: нужно зафиксировать первый ответ, а не лучший.
- Пересчитайте каждое множество и запишите настоящее число рядом. Посчитайте два столбца: абсолютную ошибку в единицах и относительную, то есть промах, делённый на настоящее число.
- Посмотрите, какой столбец ведёт себя ровнее. Если приблизительная система работает так, как описано в уроке, абсолютная ошибка будет расти вместе с числом, а относительная останется примерно одинаковой.
- Отметьте, на каком множестве вы поймали себя на попытке считать: разбивать на группы, вести взглядом по ряду. С этого места вы измеряли уже не оценку, а счёт, и такие строки из проверки правила надо исключить. Запишите одним предложением, почему их нельзя оставить.
Вопросы для самопроверки
Человек за долю секунды оценивает количество точек. Какое наблюдение говорит против того, что он их быстро пересчитывает?
- Ответ приходит быстро
- Ошибка не превышает нескольких единиц
- Ошибка растёт пропорционально числу точек
- Время ответа растёт с числом точек
Испытуемый уверенно отличает множество из 20 точек от множества из 26. Чего следует ожидать дальше?
- Он так же уверенно отличит 200 от 260 и не отличит 200 от 206
- Он так же уверенно отличит 200 от 206, ведь разница та же
- Он отличит любые два множества, различающиеся на шесть точек
- На больших числах различение улучшится: разница нагляднее
Носители языка без числительных свыше пяти сравнивают и приблизительно складывают большие количества, но не выполняют точную арифметику выше четырёх-пяти. Что отсюда следует?
- Что язык необходим для любых операций с количеством, включая приблизительное сравнение
- Что приблизительная система работы с количеством развивается только при наличии числительных
- Что счёт и приблизительная оценка это одна и та же способность на разных уровнях владения языком
- Что приблизительная работа с количеством не требует числительных, а точная требует
В адаптационном опыте испытуемому долго показывают множества по 16 точек, каждый раз меняя размер точек, их плотность и расположение, а затем изредка вставляют множество другой численности. Зачем менять всё, кроме численности?
- Чтобы задача не была слишком лёгкой и привыкание не наступало с первых же проб
- Чтобы привыкание нельзя было объяснить повтором внешнего вида картинки
- Чтобы испытуемый не успевал пересчитать точки и отвечал по одному впечатлению
- Чтобы уравнять условия по трудности с контрольным заданием и снять возражение об усилии
Участок теменной коры отвечает сильнее при сравнении количеств, чем при сравнении цветов. Чего не хватает, чтобы заключить, что участок занят числом?
- Большей выборки испытуемых: на десятке человек такой вывод вообще не делается
- Повторения опыта другим методом регистрации, например магнитоэнцефалографией
- Записи отдельных нейронов у человека, а не косвенного сосудистого сигнала
- Уверенности, что задача на количество не была просто труднее контрольной
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- Manuela Piazza и др., «Tuning curves for approximate numerosity in the human intraparietal sulcus», Neuron, 2004: Образцовое описание адаптационного дизайна: стоит прочесть раздел о том, какие свойства картинки менялись и зачем.
- Miles Shuman, Nancy Kanwisher, «Numerical Magnitude in the Human Parietal Lobe», Neuron, 2004: Отрицательный результат в том же номере. Полезно читать сразу после предыдущей работы: видно, из чего складывается расхождение.
- Lisa Feigenson, Stanislas Dehaene, Elizabeth Spelke, «Core systems of number», Trends in Cognitive Sciences, 2004: Короткий обзор, задавший рамку двух систем. Здесь собраны данные по младенцам и другим видам.