Закон исключённого третьего: «P или не-P» и его цена

Закон исключённого третьего это утверждение P ∨ ¬P, «P или не-P», истинное при любом значении P. В классической логике оно тавтология: чем бы ни было P, одна из двух частей верна. В многозначной и в интуиционистской логике закон перестаёт быть тавтологией, и по разным причинам: одна допускает третье значение, другая требует предъявить, какая из частей верна.

Почему в классической логике это тавтология

Проверяется таблицей в две строки. Ставим P = И: тогда ¬P = Л, а И ∨ Л = И. Ставим P = Л: тогда ¬P = И, а Л ∨ И = И. Столбец сплошь истинный, значит, формула истинна при любом значении P, это и есть тавтология. Заметьте, что закон ничего не говорит о содержании P: «дождь идёт или не идёт» верно, о чём бы ни шла речь.

На этом законе держится доказательство от противного в его сильной форме: если из ¬P следует противоречие, то ¬P ложно, а раз третьего не дано, P истинно.

Где он перестаёт работать

Многозначная логика вводит третье значение Н, «не определено», для высказываний, у которых ответа нет: о будущем, о неполных данных. Ставим P = Н: тогда ¬P = Н, а Н ∨ Н = Н. Столбец вышел не сплошь истинный, тавтологией P ∨ ¬P быть перестало. Логика взяла право не отвечать там, где ответа нет, и отдала за это закон исключённого третьего.

Интуиционистская логика отказывается от него по другой причине. Она связывает истину с построением: утверждать «P или не-P» можно, только предъявив одно из двух, а мы можем не уметь ни того ни другого. Никто не объявляет P ложным, говорят ровно одно: P пока не доказано. Цена та же: уходит половина доказательства от противного и часть законов де Моргана.

Где ошибаются

Главная путаница: считать, что отказ от закона исключённого третьего разрешает противоречия. Ни одна из этих логик не позволяет утверждать P и ¬P разом. Отказ звучит иначе: мы не обязаны заранее выбирать одно из двух. Разница огромная, и путают её чаще всего остального.

Вторая ошибка: применять закон к неточным словам. «Он лысый или не лысый» звучит как тавтология, но при пятидесяти волосах спор идёт не о логике, а о границе слова «лысый». Закон работает для высказываний с определённым значением, и первая задача состоит в том, чтобы такое высказывание получить.

Вопросы

Как формулируется закон исключённого третьего?

Из двух противоречащих высказываний одно истинно, третьего не дано: P ∨ ¬P. Сформулирован Аристотелем, в символической форме доказывается таблицей в две строки.

Чем он отличается от закона противоречия?

Закон противоречия запрещает, чтобы P и ¬P были истинны вместе: ¬(P ∧ ¬P). Закон исключённого третьего требует, чтобы хотя бы одно было истинно. В классической логике они равносильны по де Моргану, в неклассических их судьба различна.

Какая логика отвергает закон исключённого третьего?

Интуиционистская, потому что требует построения, и многозначные, потому что допускают значения кроме истины и лжи. Классическая логика сохраняет его.