Математическое ожидание: среднее, которое может не совпасть ни с одним исходом

Математическое ожидание это среднее значение случайной величины по многим повторам опыта: каждый исход умножают на его вероятность и складывают. Оно описывает длинную серию, а не отдельный случай, поэтому может не совпадать ни с одним возможным исходом. У броска кубика ожидание равно 3,5, хотя 3,5 на кубике нет.

Формула и простой пример

Для величины с конечным числом исходов ожидание равно сумме произведений «исход умножить на вероятность». Кубик: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5. Лотерейный билет за 100 рублей с шансом 1 к 1000 выиграть 50 000: ожидание выигрыша равно 50 000 · 0,001 = 50 рублей, то есть каждый билет в среднем теряет 50 рублей. Это не значит, что вы потеряете ровно 50: вы потеряете 100 или получите 49 900, а 50 это среднее по тысячам билетов.

Отсюда главное свойство. Ожидание отвечает на вопрос «сколько в среднем», и только на него. На вопрос «будет ли хоть один» отвечает вероятность, и это другое число.

Пример из курса о деньгах

Пусть тысяча фондов десять лет подряд угадывают направление рынка с вероятностью одна вторая. Ожидаемое число фондов, угадавших все десять раз, равно 1000 / 1024 = 0,977. Вероятность найти хотя бы одного такого «чемпиона» при этом равна 62,4 %: примерно в 38 историях из ста чемпионов не будет, в 37 будет ровно один, в 18 двое, и меньше чем в восьми трое и больше. Среднее по этому ряду и даёт 0,977.

Складывается ожидание и из историй с нулём, и из историй с двумя-тремя. Оно не обещает, что чемпион найдётся, и не удивляется, если их окажется два. Реклама фонда с десятилетней чередой побед показывает вам одну из этих историй, и ожидание подсказывает, сколько таких историй рождает чистая случайность.

Где ошибаются

Первая ошибка: читать ожидание как прогноз одного исхода. Ожидание страховой выплаты может быть 1 200 рублей при возможных исходах 0 и 60 000, и ни один клиент не получит 1 200.

Вторая ошибка: сравнивать варианты только по ожиданию. Два вложения с одинаковым ожиданием могут различаться разбросом в десять раз, и человек, для которого потеря 60 000 означает заём, разумно платит за избавление от разброса больше ожидаемого убытка. Это не ошибка в счёте, а отношение к риску, которое ожидание не измеряет.

Вопросы

Чем математическое ожидание отличается от среднего арифметического?

Среднее арифметическое считают по уже наблюдавшимся значениям, ожидание по всем возможным исходам с их вероятностями. При большом числе повторов среднее наблюдений стремится к ожиданию, это и есть закон больших чисел.

Может ли ожидание быть отрицательным?

Да, если потери перевешивают выигрыши с учётом вероятностей. У казино и лотерей ожидание выигрыша игрока отрицательно по построению.

Зачем знать ожидание, если оно не сбывается?

Оно сбывается в сумме: за тысячу решений с ожиданием минус 50 рублей вы потеряете около 50 000, как бы ни складывались отдельные случаи. Для повторяющихся решений это главный ориентир, для единичных крупных его надо дополнять оценкой разброса.