Случайность и умение в инвестициях
Сколько фондов с безупречной десятилетней историей выпадает само собой, если умения нет ни у кого
Случайность в инвестициях производит длинные череды удач сама, без всякого умения. Тысяча фондов, подбрасывающих монету раз в год, после десяти лет оставляет наверху 0,977 фонда: тысяча, делённая на 1024. Вероятность того, что такой чемпион найдётся хотя бы один, равна 62,4 %, а в 38 историях из ста не находится ни одного. Пятнадцатилетняя череда реже: ожидание падает до 0,03 фонда.
Учебный расчёт курса: тысяча участников, независимые годы, шанс обыграть индекс положен как у монеты · 22 мин · обновлено 15.09.2026
После урока вы сможете
- Считать, сколько длинных чередей побед даёт чистая случайность при большом числе участников
- Различать ожидание числа чемпионов и вероятность того, что чемпион найдётся хотя бы один
- Знать, что превращает череду в довод: объявление заранее и число кандидатов в отборе
- Видеть, где учебная модель с монетой расходится с измерениями
Реклама фонда обещает немного и звучит убедительно: «десять лет подряд мы обыгрывали рынок». Проверять здесь, на первый взгляд, нечего. Утверждение о прошлом, оно, скорее всего, правда, и спорить с ним не о чем. Вопрос в другом: что из этой правды следует.
Ответ даёт арифметика, а не спор о том, хороши ли управляющие. Мы сейчас посчитаем, сколько фондов с такой чередой должно найтись, если умения нет ни у кого вообще. Расчёт займёт полстраницы и не потребует ничего сложнее деления пополам. Число, которое из него выйдет, неудобно для рекламы, но ещё неудобнее оно для тех, кто спешит объявить всякую рекламу обманом.
Урок устроен как расчёт, а не как разоблачение. Сначала мы построим модель, в которой умения нет по условию задачи. Потом посмотрим, сколько победителей она производит сама собой. И только потом вернёмся к рекламе, уже с числом в руках.
Тысяча фондов бросают монету
Возьмём тысячу фондов. Про каждый нас интересует ровно одно: в отдельно взятом году он обыграл свой индекс или отстал от него. Индексом здесь называют заранее объявленный список бумаг с правилом их взвешивания, и служит он эталоном, с которым фонд сравнивают. Положим, что шансы обыграть и отстать ровно равны, как у монеты.
Это условие задачи, а не измеренная величина, и к нему мы ещё вернёмся. Пока важно другое: в модели нет ни умения, ни глупости. Есть тысяча участников и монета, которую каждый из них бросает раз в год. Орёл значит обыграл, решка значит отстал.
Проходит первый год, и сверху оказывается примерно половина: около пятисот фондов. Второй год: из этих пятисот сверху остаётся около двухсот пятидесяти. Строй редеет вдвое каждый год, и ничего другого в модели не происходит. Никто не следит за рынком, никто ничего не выбирает.
Досчитаем до десяти. После третьего года держатся сто двадцать пять фондов, после четвёртого около шестидесяти двух, после пятого тридцать один. Дальше по убыванию: шестнадцать, восемь, четыре, два. После десятого года остаётся около одного фонда (точнее, тысяча, делённая на 1024, то есть 0,977).
Вот и весь расчёт. Тысяча участников, десять лет, ноль умения, а на выходе фонд с безупречной десятилетней историей. Он существует, отчётность у него настоящая, результат не подделан. Нет у него только одного: причины, по которой этим фондом оказался именно он.
Шанс обыграть индекс в отдельном году положен здесь ровно как у монеты. Это условие задачи, назначенное для наглядности, а не измеренная величина. Настоящие доли приводит урок 8, и они зависят и от категории фондов, и от года. Расчёт описывает модель, а не какой-либо рынок и тем более не какой-либо фонд.
Ожидание не то же, что вероятность
Здесь начинается место, где ошибиться легче всего, и в уроке о случайности такая ошибка особенно обидна. Число 0,977 и есть ожидание: среднее число чемпионов, если повторить всю историю много раз. Из него не следует, что чемпион найдётся. Ожидание отвечает на вопрос «сколько в среднем», а не на вопрос «будет ли хоть один».
Второе число считается отдельно, и оно другое. Вероятность того, что все десять лет продержится хотя бы один фонд, равна 62,4 %. То есть примерно в шести историях из десяти чемпион есть, а в четырёх нет ни одного. «Ожидается около одного» и «почти наверняка найдётся» означают разное, и второе утверждение неверно.
Откуда берётся разрыв, видно из разбора по случаям. Чемпиона нет вовсе примерно в 38 историях из ста. Ровно один находится в 37, два в 18, три в 6, а на четыре и больше остаётся меньше двух историй. Среднее по этому ряду и даёт 0,977, хотя чаще всего чемпионов оказывается либо ноль, либо один.
Теперь растянем череду до пятнадцати лет. Ожидание падает до 0,03 чемпиона, а вероятность найти хотя бы одного до 3 из ста. Здесь два числа почти совпали, и это закономерность: пока событие редкое, ожидание близко к вероятности. Расходятся они там, где ожидание подбирается к единице, то есть ровно в нашем случае.
Практический вывод из этого разрыва простой. Десятилетняя череда при тысяче участников не редкость, но и не неизбежность. Она случается чаще, чем не случается, и этого хватает, чтобы объявление о чемпионе перестало удивлять. Объяснять такого чемпиона нечем и незачем: объяснение уже есть, и ни одного управляющего в нём нет.
«Ожидается около одного чемпиона» и «чемпион почти наверняка найдётся» звучат похоже и означают разное. Первое описывает среднее по многим повторам, и складывается оно в том числе из историй с нулём и из историй с тремя. Второе означает долю историй, где чемпион есть хотя бы один, и она равна 62,4 процента. Путать их удобно обеим сторонам спора: одна получает из этого неизбежного гения, а другая неизбежную случайность.
Как редеет строй
Полезно увидеть, как именно тает тысяча. Каждый год отсекает половину оставшихся, и первые шаги кажутся щедрыми: пятьсот, двести пятьдесят, сто двадцать пять. Ощущение обилия держится примерно до пятого года, пока в строю ещё три десятка участников.
Дальше начинается то, что плохо укладывается в голове. Между пятым и десятым годом строй редеет с тридцати одного фонда до одного, и на каждом шаге исчезает половина оставшихся. Убывает число тем же степенным множителем, каким растёт вклад в уроке 4, только направлен он вниз. Интуиция здесь подводит одинаково в обе стороны.
Отсюда видно, почему длина череды меняет дело так сильно. Каждый добавленный год делит число выживших надвое, и потому десятилетняя череда в тридцать два раза реже пятилетней. Пятнадцатилетняя реже десятилетней ещё в тридцать два раза. Сообщения «пять лет подряд» и «пятнадцать лет подряд» совершенно разной силы, хотя на слух отличаются одним числом.
Что превращает череду в довод
Теперь вернёмся к рекламе. Череда сама по себе не отделяет умение от везения, потому что при тысяче участников она выпадает и без умения. Но это не значит, что отделить нельзя вовсе. Отделяют две вещи, и обе они про то, когда и из скольких выбирали.
Первое: было ли о череде объявлено заранее. Сильным утверждением будет предсказание «вот этот фонд обыграет индекс десять лет подряд», сделанное в начале срока. Для одного заранее названного фонда шанс угадать равен одной тысяча двадцать четвёртой. Победитель, названный после того, как всё уже случилось, не сообщает почти ничего.
Второе: сколько кандидатов участвовало в отборе. Один фонд из тысячи следует ожидать, а один фонд из десяти уже считается редкостью. В рекламе число участников не пишут почти никогда, и дело тут не в злом умысле, а в устройстве жанра. Рассказывают о том, о ком есть что рассказать.
У этого приёма есть имя. Когда из большого числа кандидатов выбирают лучшего, а потом оценивают его так, будто он был единственным, статистика называет это множественными сравнениями. Правило простое: чем больше кандидатов перебрано, тем менее удивителен лучший из них. Аппарат для этого подробно разобран в курсе статистики, а урок 11 показывает то же самое на стратегиях, подобранных по прошлым данным.
При тысяче участников десятилетняя череда ожидается и в мире, где умения нет ни у кого. Значит, факт череды сам по себе не отличает умелого управляющего от везучего, и требовать другого объяснения не приходится. Это не обвинение конкретного фонда в удаче: расчёт вообще не говорит ни о каком отдельном фонде. Он говорит лишь о том, что одной череды для вывода мало.
Где ломается монета
Монета в этой задаче не украшение и не аналогия, а само условие расчёта. И всё-таки стоит сказать, где она расходится с миром, иначе модель начнёт выдавать себя за измерение. Условий в ней три. Годы независимы, шанс равен ровно половине, все фонды одинаковы.
Ни одно из трёх в точности не выполняется. Доля обыгравших индекс в отдельном году не равна половине и не одинакова в разных категориях фондов. В 2024 году от своего индекса отстали 65 % американских фондов акций крупной капитализации, а в том же году на годовом горизонте большинство обыграло свой индекс в семи категориях акций из двадцати двух. Числа и оговорки к ним разбирает урок 8.
Направление ошибки при этом стоит держать в голове. Если настоящий шанс ниже половины, случайных чемпионов выходит меньше, а не больше, и плата за управление работает именно в эту сторону. Значит, расчёт с монетой скорее завышает число случайных чемпионов, чем занижает. Настоящая десятилетняя череда чуть удивительнее, чем показывает модель. Чуть, но не настолько, чтобы стать доказательством умения.
Независимость лет модель тоже кладёт по условию, а мир соблюдать её не обязан. Вопрос о том, держится ли удача фонда от года к году, отдельный и измеряемый, и урок 12 разбирает, что об этом известно и чего нет. Пока достаточно понимать, что расчёт с монетой отвечает на один узкий вопрос. Он показывает, сколько чемпионов выпадает без умения, и не утверждает, что умения не бывает.
Почему это не обвинение отрасли
Из такого расчёта очень легко сделать вывод, которого в нём нет. Звучит он примерно так: раз чемпион выпадает сам, значит, все чемпионы случайны, а вся реклама обманывает. Это ошибка того же рода, против которой написан урок, только вывернутая наизнанку. Модель показала, что череда возможна без умения, а не что умения не существует.
Разница между этими двумя утверждениями та же, что между «эффекта не нашли» и «эффекта нет» из урока 1. Расчёт лишает череду доказательной силы и на этом останавливается. Кто именно из чемпионов везучий, а кто умелый, он не решает и решить не может. Для такого вопроса нужны другие данные, и урок 8 показывает, какие именно измерения на него отвечают.
Осторожность нужна и в другую сторону. Отдельный фонд с длинной чередой не становится подозрительным оттого, что мы посчитали ожидание. Подозрительным становится сообщение о нём, если в сообщении не сказано, сколько было участников и когда назвали победителя. Разбирается здесь способ рассказа, а не работа управляющих.
Три вопроса к сообщению о череде
Из расчёта вырастает короткий набор вопросов. Это не общий чек-лист курса (он один и приводится в уроке 20), а частный набор, который годится для сообщений про череду побед. Вопросов в нём три.
Сколько было участников? Без этого числа череда не читается вовсе. Сообщения про один фонд из десяти и про один из тысячи отличаются в сто раз по силе, а на слух неотличимы. Если число участников не названо, вывод из сообщения сделать нельзя, и это тоже вывод.
Когда назвали победителя? До начала череды или после её окончания. Заранее названный фонд проверяет предсказание, задним числом названный проверяет только память рассказчика. В рекламе это почти всегда второе, и почти всегда об этом не говорится прямо.
С чем сравнивали и за какой срок? Формулировка «обыграл рынок» слишком общая: рынок бывает разный, и эталоны для разных категорий фондов разные. Урок 8 показывает, как сильно меняется картина от длины срока, а урок 9 разбирает, как она меняется от выбора эталона. Три вопроса не заменяют канонический чек-лист урока 20, а служат быстрой проверкой для одного узкого случая.
Из урока не следует ни того, что фонды с длинной чередой плохи, ни того, что они хороши. Следует, что одна череда не отвечает на вопрос об умении, а число участников и момент объявления победителя отвечают частично. Курс не называет продуктов и не оценивает их. Решение зависит от обстоятельств, которых курс не знает: от вашего срока, дохода и обязательств.
Что дальше
Мы посчитали, сколько чемпионов даёт случайность, и получили два числа вместо одного: ожидание 0,977 и вероятность 62,4 процента. Держать в голове стоит оба, потому что подменяют их постоянно и в обе стороны. Из первого делают «чемпион неизбежен», из второго «чемпион почти невозможен», и оба вывода неверны.
Урок 8 переходит от модели к измерениям. Там появятся настоящие доли фондов, отставших от своих индексов: по категориям, по срокам и с оговорками о том, к кому эти числа относятся. Урок 9 разбирает встречную критику самих этих измерений, потому что и у них есть методика, а у методики есть спорные места.
Тренажёр этого урока даёт покрутить расчёт руками. В нём можно менять число участников и длину череды и смотреть, как расходятся ожидание и вероятность найти хотя бы одного чемпиона. Полезнее всего прогнать его несколько раз подряд при тысяче фондов и десяти годах: чемпионов будет то ноль, то один, то три.
Чемпион из монеты
Тысяча фондов бросают монету десять лет подряд. Чемпион, обыгравший рынок десять раз кряду, выпадает сам собой, и именно он попадает в рекламу.
Что подтвердилось, а что нет
При тысяче участников и шансе как у монеты десятилетняя череда ожидается сама собой: тысяча, делённая на 1024, даёт 0,977 фонда. Череда, полученная в мире без умения, не может служить свидетельством умения. Отделяют одно от другого два обстоятельства: было ли о череде объявлено заранее и сколько кандидатов участвовало в отборе. Ни то ни другое в рекламе обычно не сообщается.
Получается, и расчёт занимает полстроки: каждый год отсекает половину участников, поэтому за десять лет остаётся одна тысяча двадцать четвёртая. Тысяча участников, и вот вам чемпион. Пятнадцатилетняя череда действительно редка: ожидание падает до 0,03 фонда, и найдётся такой примерно в трёх историях из ста. Редкость события зависит не от впечатления, а от длины череды и числа участников.
Ожидание 0,977 и вероятность найти хотя бы одного чемпиона различаются: вторая равна 62,4 процента. В 38 историях из ста чемпиона нет вовсе, ещё в 18 их оказывается двое, а изредка и больше. Среднее по такому ряду и даёт около единицы. Эти два числа сходятся только тогда, когда событие редкое: при пятнадцатилетней череде ожидание 0,03 и вероятность 3 из ста почти совпадают.
Термины
- математическое ожиданиеexpected value
- Среднее значение величины по многим повторам опыта. Для числа чемпионов оно равно 0,977 и не означает, что чемпион найдётся: складывается это среднее и из историй с нулём, и из историй с двумя-тремя.
- вероятность хотя бы одногоprobability of at least one
- Доля повторов опыта, в которых событие случилось не меньше одного раза. Для десятилетней череды при тысяче участников она равна 62,4 процента: в четырёх историях из десяти чемпиона нет вовсе.
- правило умножения вероятностейmultiplication rule
- Вероятность того, что несколько независимых событий случатся все сразу, равна произведению их вероятностей. Десять удачных лет подряд при шансе одна вторая дают одну тысяча двадцать четвёртую.
- независимые событияindependent events
- События, у которых исход одного не меняет шансов другого. Модель этого урока кладёт независимость лет по условию задачи, а вопрос, выполняется ли она у настоящих фондов, отдельный и измеряемый.
- отбор задним числомpost hoc selection
- Выбор победителя после того, как результаты стали известны. Такой выбор не проверяет предсказание, потому что предсказания не было: победителя назначили по уже случившемуся итогу.
- череда победwinning streak
- Подряд идущие годы, в каждом из которых фонд обошёл список бумаг, с которым его сравнивают. Длина череды сама по себе не отделяет умение от везения: при тысяче участников десятилетняя череда выпадает и без умения.
- учебная модельtoy model
- Расчёт с условиями, назначенными для наглядности, а не измеренными. Числа такой модели показывают устройство явления и не описывают ни конкретный рынок, ни конкретный фонд.
Практикум · Достроить недостающее число
Навык этого урока не в том, чтобы считать степени в уме, а в том, чтобы замечать, какого числа в сообщении нет. Задача одна: найти три сообщения о череде побед и попробовать восстановить число участников отбора. Занимает около получаса.
- Найдите три сообщения, где кто-то или что-то обыгрывало рынок несколько лет подряд: реклама фонда, заметка об управляющем, пост о торговой стратегии. Берите то, что попалось само, а не самое сомнительное.
- Для каждого выпишите две вещи: длину череды в годах и то, сказано ли, сколько было кандидатов. Скорее всего, первое названо точно, а второе не названо вовсе.
- Прикиньте, сколько участников нужно, чтобы такая череда выпадала сама собой примерно один раз. Для череды в N лет это два в степени N: для пяти лет нужно 32 участника, для восьми 256, для десяти 1024.
- Сравните это число с тем, сколько похожих фондов или стратегий существует на самом деле. Если участников заведомо больше, чем нужно, сообщение перестаёт быть удивительным.
- Отметьте для каждого сообщения, когда назвали победителя: до начала череды или после её окончания. Запишите одной фразой, что изменилось бы в вашем прочтении, будь названо число участников.
Вопросы для самопроверки
Тысяча фондов, шанс обыграть индекс в отдельном году такой же, как у монеты. Сколько фондов пройдут десять лет подряд без единой неудачи?
- Около десяти: тысяча делится на число лет, и получается десять фондов
- Около одного: тысяча, делённая на 1024
- Ни одного: десять удач подряд при честной монете практически невозможны
- Около сорока: половина отсеивается лишь в первые годы, дальше строй держится
Ожидание числа чемпионов равно 0,977. Что именно сообщает это число?
- Среднее число чемпионов по многим повторам истории, а в отдельной истории их бывает ноль, один или больше
- Вероятность того, что чемпион найдётся, то есть примерно 98 историй из ста
- Долю фондов, которые обыграли индекс хотя бы в одном году из десяти
- Число лет, которое чемпион в среднем держится до первой неудачи
Почему «ожидается около одного чемпиона» не значит «чемпион почти наверняка найдётся»?
- Потому что ожидание считают по фондам, а вероятность по годам наблюдения
- Потому что ожидание всегда меньше вероятности, к которой оно относится
- Потому что при тысяче участников чемпион находится всегда, а «около одного» означает просто округление
- Потому что истории с нулём чемпионов и истории с двумя-тремя дают в среднем около одного
Что отличает череду, которая говорит об умении, от череды, которая говорит о везении?
- Размер фонда: у крупного фонда случайная череда набирается труднее, чем у мелкого
- Наличие письменной стратегии, которой управляющий держался все десять лет подряд
- То, что о череде объявили заранее, и то, из скольких кандидатов её выбрали
- Длина череды: чем она длиннее, тем надёжнее вывод об умении
Что из расчёта с тысячей фондов и монетой НЕ следует?
- Что фонд с десятилетней чередой управлялся плохо или его результат подделан
- Что при тысяче участников десятилетняя череда ожидается и без всякого умения
- Что ожидание чемпионов и вероятность найти хотя бы одного дают разные числа
- Что число участников отбора необходимо знать, чтобы прочитать сообщение о череде
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- OpenStax Principles of Finance, главы о доходности и риске: Открытый учебник под лицензией CC BY-NC-SA 4.0. Даёт тот же счёт без разговора о рекламе, а расчёт с монетой в этом уроке к учебнику не восходит и сделан заново.
- Курс школы «Статистика», уроки о вероятности и множественных сравнениях: Тот же аппарат в общем виде: почему лучший из многих кандидатов выглядит лучше, чем он есть. Дополнение к этому уроку, а не условие его понимания.