Среднее, медиана, мода и разброс

Почему для зарплат среднее плохой выбор, а для роста хороший

Среднее арифметическое это точка равновесия распределения, чувствительная к выбросам. Медиана это значение, левее и правее которого поровну наблюдений, устойчивое к ним. В компании, где девять зарплат лежат между 60 и 80 тысячами, а десятая равна 900, среднее равно 151,7 тысячи, медиана равна 69, и контору описывает второе число. Меру центра выбирают по форме распределения, а разброс читают через размах, квартили и стандартное отклонение.

Data 8, гл. 7 и 14 · MIT 18.05, занятия 4-6a · 45 мин · обновлено 01.10.2026

Компания из десяти человек. Зарплаты в тысячах: 60, 62, 65, 65, 68, 70, 72, 75, 80 и 900. Последняя у основателя.

Средняя зарплата равна 151,7 тысячи. Ни один сотрудник столько не получает, и ближайший к среднему отстоит от него в двенадцать раз. Медиана составляет 69 тысяч: половина получает меньше, половина больше. Это число описывает контору, а первое нет.

Отсюда вопрос урока: когда среднее работает, когда нет и что смотреть вместо него.

Три меры центра и когда какая

Среднее арифметическое это сумма, делённая на количество. Его физический смысл сводится к точке равновесия: если бы значения были грузиками на невесомой линейке, среднее было бы точкой опоры. Отсюда и слабость: один тяжёлый грузик далеко от остальных утаскивает точку опоры за собой.

Медиана это значение, левее и правее которого поровну наблюдений. Её смысл в середине по счёту, а не по величине. Замените зарплату основателя с 900 на 9000, и среднее подскочит до 960, а медиана не сдвинется ни на рубль. Это свойство называется устойчивостью, и оно ровно то, что нужно для несимметричных величин.

Мода означает самое частое значение. Для непрерывных величин почти бесполезна, для категорий незаменима: у «среднего цвета автомобиля» смысла нет, у самого частого есть.

Правило выбора простое и почти всегда работает: при симметричном распределении без далёких выбросов подходит среднее, а при несимметричном или с выбросами медиана. Рост, вес, температура, время реакции обычно симметричны, среднее уместно. Доходы, цены на жильё, время ожидания, длительность болезни, число подписчиков, размеры городов почти всегда вытянуты вправо, и там медиана.

Признак, по которому легко узнать вытянутое вправо распределение, даже не видя данных: величина ограничена снизу нулём и не ограничена сверху. У зарплаты не может быть минус тридцати тысяч, а девятьсот бывает. Такая асимметрия встроена в саму величину.

Разброс: три способа измерить

Центр без разброса остаётся половиной сообщения, о чём шла речь в первом уроке. Разброс измеряют тремя способами разной грубости.

Размах идёт от минимума до максимума. Честен и почти бесполезен: определяется двумя самыми экстремальными наблюдениями, поэтому от одного выброса меняется целиком. У наших зарплат размах 60-900, и это говорит больше об основателе, чем о компании.

Квартили и межквартильный размах. Первый квартиль отсекает нижнюю четверть, а третий верхнюю. Расстояние между ними накрывает середину половины наблюдений. Для наших десяти зарплат первый квартиль около 65, третий около 75, межквартильный размах примерно 10 тысяч. Вот это уже описание компании: половина сотрудников укладывается в десятитысячную вилку. Мера устойчива к выбросам ровно потому, что смотрит на порядковые места, а не на величины.

Стандартное отклонение равно корню из среднего квадрата отклонений от среднего. Словами: типичное расстояние от значения до центра. Считается сложнее и к выбросам чувствительно так же, как среднее, зато для симметричных распределений даёт удобное правило: примерно две трети наблюдений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, а около 95 % укладываются в пределах двух.

Это правило работает только для распределений, близких к нормальным, и применять его к зарплатам нельзя. Для наших десяти зарплат стандартное отклонение около 250 тысяч, и интервал «среднее плюс-минус одно отклонение» уходит далеко в отрицательные числа, верный признак того, что мера выбрана не та.

Форма важнее обеих сводок

Центр и разброс дают две цифры, а распределение может выглядеть очень по-разному при одинаковых обеих. Форму приходится смотреть отдельно, и для решений она часто важнее.

Симметричное с одним горбом и есть тот случай, ради которого придуманы среднее и стандартное отклонение. Рост взрослых мужчин, ошибки измерения, суммы многих независимых мелких вкладов.

Вытянутое вправо: доходы, цены, время ожидания. Большинство значений скучено слева, длинный хвост уходит вправо. Среднее сдвинуто относительно медианы в сторону хвоста, и разница между ними служит прямой мерой асимметрии.

Двугорбое остаётся самым коварным случаем, потому что среднее попадает во впадину между горбами, где наблюдений меньше всего. Классическим источником служит смесь двух разных групп в одних данных. Если измерить время выполнения задачи у смеси новичков и опытных, получится два горба, а среднее опишет несуществующего среднего работника. Двугорбость почти всегда сигнал, что данные надо разделить.

С тяжёлым хвостом даёт редкие, но очень крупные значения: страховые выплаты, продажи книг, размеры городов. Здесь и медиана не спасает, потому что решения определяются как раз хвостом. Средний ущерб по страховым случаям может быть невелик, а разорит компания одно событие из хвоста.

Отсюда общий принцип: сводка из одного числа теряет ровно то, ради чего обычно и смотрят данные. Гистограмма из десяти столбиков говорит больше, чем среднее и отклонение вместе.

Как это ломается в жизни

Три типичные ситуации, где выбор меры меняет вывод.

Зарплата в отчёте. «Средняя зарплата в компании выросла на 12 %» совместимо с тем, что у всех, кроме руководства, зарплата не изменилась. Проверку даёт медиана: если она стоит на месте, рост достался хвосту.

Время ответа службы поддержки. Среднее время ответа 4 минуты выглядит прилично, но распределение здесь всегда вытянуто вправо: большинство ответов быстрые, а часть тянется часами. Осмысленной величиной оказывается не среднее и даже не медиана, а квантиль: значение, ниже которого лежит заданная доля наблюдений. Именно так пишут соглашения об уровне сервиса, и именно поэтому там фигурирует «95 % обращений за N минут», а не среднее. Тот же порог, названный не долей, а процентом, зовут процентилем: девяностый процентиль это квантиль уровня 0,9. Слова два, объект один, и дальше в курсе встретятся оба.

Сравнение групп по средним. Две школы с одинаковым средним баллом могут отличаться радикально: в одной все около среднего, в другой половина отличников и половина отстающих. Решения о том, куда направить ресурсы, в этих двух случаях противоположны, а по средним они неразличимы.

Общая мораль урока прикладная: прежде чем сравнивать центры, посмотрите на формы. Сравнение средних осмысленно, когда распределения похожи по форме. Когда они разной формы, разница средних может не соответствовать ничему содержательному.

Пять чисел вместо одного

Есть компактный формат, который решает почти все перечисленные проблемы разом: пятичисловая сводка из минимума, первого квартиля, медианы, третьего квартиля, максимума.

Для наших десяти зарплат она выглядит так: 60, 65, 69, 75, 900. Пять чисел вместо одного, и картина восстанавливается целиком. Видно типичного сотрудника, 69. Видно, что основная масса умещается в вилку 65-75. Виден выброс: максимум оторван от третьего квартиля больше чем в десять раз, и это сразу говорит, что среднее считать бессмысленно.

Сравните с тем, что даёт одно среднее: 151,7. Из него не следует ни одно из трёх наблюдений выше, зато следует ложное представление о зарплатах в компании.

На этой сводке основан ящичковый график, где есть коробка от первого до третьего квартиля, черта на медиане, усы до крайних значений и точки для выбросов. Он придуман ровно для того, чтобы сравнивать группы, не теряя формы: два ящика рядом показывают и сдвиг центра, и разницу разбросов, и наличие хвостов.

Стоит завести привычку: прежде чем считать что-либо, выписать пять чисел. Это занимает минуту на отсортированных данных и сразу отвечает на вопрос, какой мерой центра дальше пользоваться.

Единицы, в которых считают

Последняя ловушка описания ждёт при сравнении величин в разных масштабах. Стандартное отклонение зарплаты в рублях и стандартное отклонение возраста в годах несопоставимы: у них разные единицы, и сказать, где разброс «больше», невозможно.

Для таких случаев есть два приёма. Первый из них это коэффициент вариации: стандартное отклонение, делённое на среднее. Величина безразмерная, и разбросы можно сравнивать. Работает только для положительных величин со средним, далёким от нуля.

Второй, более употребительный, называют стандартизацией: у каждого значения вычесть среднее и разделить на стандартное отклонение. Получается, на сколько отклонений значение отстоит от центра. Балл 85 при среднем 70 и отклонении 10 превращается в 1,5, то есть полтора отклонения выше среднего, и это число сравнимо с результатом другого экзамена в других баллах.

Стандартизованные значения будут постоянно встречаться дальше в курсе, потому что на них строится вся техника проверки гипотез. Смысл держать в голове стоит именно словесный: это расстояние до среднего, измеренное в единицах типичного разброса.

У приёма есть оборотная сторона, о которой стоит знать сразу. Стандартизация делает величины сравнимыми по форме, но не по важности: полтора отклонения по шкале тревожности и полтора отклонения по росту дают одинаковые числа с совершенно разными последствиями. Перевод в отклонения отвечает на вопрос «насколько это необычно», а не на вопрос «насколько это много». Смешение этих двух вопросов повторяет ту же ошибку, что и смешение надёжности и важности из первого урока, и встречается она чаще всего именно после стандартизации.

Вопросы для самопроверки

Что читать

• Adhikari, DeNero, Wagner, «Computational and Inferential Thinking», главы 7 и 14: Визуализация и глава «Почему среднее имеет значение»: там же границы правила о стандартных отклонениях.
• MIT 18.05, конспекты занятий 4-6a: Ожидание и дисперсия строго, с формулами. Читается после этого урока, если хочется формальной стороны.