Неприятие риска и страхование
Почему выгодная в среднем игра остаётся невыгодной
Неприятие риска это предпочтение гарантированной суммы игре с той же ожидаемой ценностью, и в модели ему отвечает вогнутость функции полезности. Монета, где орёл приносит миллион, а решка отнимает 800 000, выгодна в среднем на 100 000 рублей, и соглашаются немногие. Отсюда же выходит страхование: при ожидаемой выплате 6 400 рублей домохозяйство готово отдать за полис до 7 984, и промежуток в 1 584 рубля устраивает обе стороны.
MIT 14.01, лекции 20 и 21 · Бернулли, 1738 · фон Нейман и Моргенштерн, 1944 · 45 мин · обновлено 01.10.2026
После урока вы сможете
- Считать ожидаемую ценность и объяснять, почему её недостаточно для описания выбора
- Находить эквивалент определённости и премию за риск на конкретных числах
- Показывать, из чего складывается взаимная выгода страхования при разном отношении к риску
- Называть допущения, при нарушении которых объединение рисков перестаёт работать
Учебная игра. Подбрасывается честная монета. При орле вам платят 1 000 000 рублей, при решке вы платите 800 000. Считаем среднее: 0,5 × 1 000 000 − 0,5 × 800 000 = плюс 100 000 рублей. Игра выгодна.
Предложите её кому угодно, и почти никто не согласится. Причём отказавшийся, как правило, отлично понимает арифметику и с ней не спорит.
Это не ошибка и не иррациональность. Отказ указывает на то, что величина, по которой люди сравнивают рискованные варианты, не совпадает с ожидаемой денежной суммой. Урок о том, какой величиной приходится её заменить, что из этого следует про страхование и где полученная модель ломается.
Все суммы, вероятности и премии здесь учебные, подобранные ради круглой арифметики. Это не сведения о ценах страховых продуктов и не совет что-либо покупать или не покупать.
Ожидаемая ценность и предел её применимости
Ожидаемая ценность складывается из возможных исходов, взвешенных их вероятностями. Для нашей монеты это плюс 100 000 рублей. Двусмысленности здесь нет: повторите игру тысячу раз, и средний результат окажется близок к этой величине.
Первый удар по правилу «выбирай большую ожидаемую ценность» нанесён почти три века назад. Даниил Бернулли в 1738 году разобрал такую игру. Монету бросают до первого орла. Если он выпал на n-м броске, платят 2 в степени n рублей. Считаем ожидаемую ценность: с вероятностью 1/2 платят 2, с вероятностью 1/4 платят 4, с вероятностью 1/8 платят 8. Каждое слагаемое равно единице, а слагаемых бесконечно много, поэтому ожидаемая ценность бесконечна.
Правило «выбирай большую ожидаемую ценность» велит отдать за вход в такую игру любую сумму. Никто этого не делает и не делал. Бернулли назвал это петербургской задачей и предложил решение. Значение имеет не сама денежная сумма, а прибавка удовлетворения, которую она приносит. А эта прибавка убывает по мере роста состояния. Тысяча рублей человеку с сотней тысяч и тому же человеку с миллионом означает разные вещи.
Так появляется ожидаемая полезность: те же вероятности, но взвешиваются не деньги, а полезности соответствующих состояний. Строгий вид конструкция получила у Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна. В приложении ко второму изданию «Теории игр и экономического поведения» (1947) доказано следующее. Если предпочтения над лотереями удовлетворяют перечисленным аксиомам, то они представимы ожиданием некоторой функции.
Оговорка, без которой всё дальнейшее прочтётся неверно. Это модель. Она не утверждает, что человек в уме вычисляет полезности и вероятности. Она утверждает более скромное: при выполнении определённых условий выбор выглядит так, как если бы он их вычислял. Условия перечислимы и проверяемы, и к концу урока мы увидим, где они не выполняются.
Вогнутость на числах
Возьмём учебную функцию полезности: полезность равна квадратному корню из состояния. Она выбрана ради круглых чисел, а не потому, что кто-то её измерил.
Пусть состояние человека равно 640 000 рублей, то есть полезность 800. Ему предлагают игру: с равными шансами состояние станет 250 000 или 1 210 000.
Сначала считаем по деньгам. Ожидаемое состояние равно (250 000 + 1 210 000) / 2 = 730 000 рублей. Это на 90 000 больше нынешнего: игра выгодна в среднем, и заметно.
Теперь по полезности. Корень из 250 000 равен 500, корень из 1 210 000 равен 1100. Ожидаемая полезность равна (500 + 1100) / 2 = 800, ровно столько же, сколько даёт нынешнее состояние без всякой игры.
Вывод: человек с такой полезностью в точности безразличен. Девяносто тысяч ожидаемой прибавки ровно оплачивают разброс исходов, и ни копейкой больше.
Две величины, которые из этого расчёта извлекаются, дальше понадобятся постоянно. Эквивалент определённости означает гарантированную сумму, равноценную игре: здесь 800 в квадрате, то есть 640 000 рублей. Премия за риск считается как разница между ожидаемым состоянием и эквивалентом определённости, то есть 730 000 − 640 000 = 90 000 рублей. Это цена, которую человек готов заплатить за то, чтобы разброса не было.
Геометрически всё сводится к одному свойству: у вогнутой кривой середина хорды лежит ниже самой кривой. Ожидаемая полезность игры отмечена точкой на хорде, а полезность гарантированной суммы точкой на кривой. Отсюда следует и неприятие риска, и положительная премия, и всё остальное в этом уроке.
Страхование на числах
Теперь тот же аппарат применим к настоящей задаче. Берём учебные числа. Состояние домохозяйства 1 000 000 рублей, и с вероятностью 1 % за год случается убыток в 640 000: пожар, кража, серьёзная поломка. Полезность по-прежнему корень из состояния.
Ожидаемый убыток равен 0,01 × 640 000 = 6 400 рублей. Это актуарно справедливая премия. При такой цене страховщик в среднем выходит ровно в ноль.
Считаем ожидаемую полезность без страховки. С вероятностью 0,99 состояние остаётся 1 000 000, полезность 1000. С вероятностью 0,01 состояние падает до 360 000, полезность 600. Ожидаемая полезность: 0,99 × 1000 + 0,01 × 600 = 996.
Эквивалент определённости: 996 в квадрате равно 992 016 рублей. То есть домохозяйство безразлично между тем, чтобы жить с этим риском, и тем, чтобы наверняка иметь 992 016 рублей.
Отсюда предельная цена полиса. Максимум, который домохозяйство готово отдать за полное покрытие, равен 1 000 000 − 992 016 = 7 984 рубля.
Сопоставляем два числа. Справедливая премия равна 6 400 рублей. Готовность платить составляет 7 984. Промежуток шириной 1 584 рубля и есть то, из чего страхование может существовать. Любая цена внутри него улучшает положение обеих сторон: домохозяйство отдаёт меньше, чем само оценивает избавление от разброса, а страховщик получает больше ожидаемой выплаты.
Подчеркнём то, что здесь легко проскочить. Выигрыш возникает не потому, что одна сторона обманула другую, и не потому, что кто-то ошибся в вероятности. Он возникает из того, что стороны по-разному относятся к одному и тому же риску. Обмен идёт именно этим различием, так же как обычная торговля идёт различием в оценке товара.
Почему страховщик относится к риску иначе
Остаётся объяснить последнее звено: с чего бы страховщику быть безразличным к риску, если домохозяйство к нему не безразлично.
Для домохозяйства убыток единичен и неповторим, ведь 640 000 составляют заметную долю всего, что есть. Для страховщика с многими договорами речь идёт о среднем по многим событиям. А среднее ведёт себя не так, как каждое слагаемое: отдельные исходы гуляют широко, среднее по ним колеблется тем меньше, чем больше слагаемых. Подробный разбор лежит в курсе статистики этой школы. Здесь важно следствие. При достаточном числе договоров суммарная выплата предсказуема почти как известная величина. Тогда решение принимают по ожидаемой ценности, по тому самому правилу, которое отдельному человеку не подходит.
Учебная арифметика для наглядности. Десять тысяч договоров, по каждому ожидаемая выплата 6 400 рублей: ожидаемая суммарная выплата 64 миллиона. Премия 7 000 рублей с договора даёт сбор 70 миллионов. Промежуток в 6 миллионов идёт на расходы страховщика и его прибыль, а сам он при этом остаётся внутри интервала, который домохозяйство считает приемлемым.
Первым условием, без которого всё разваливается, служит независимость событий по разным договорам. Землетрясение, наводнение, эпидемия или общий обвал задевают все договоры сразу. Усреднения не происходит ни при какой их численности, и предсказуемости не возникает. Именно поэтому такие риски покрывают иначе, дороже, с ограничениями или не покрывают вовсе.
Второе условие: страховщик должен знать вероятность и не должен своим полисом её менять. Оба требования нарушаются, а как именно, разобрано в пятнадцатом уроке. Коротко. Полис охотнее покупают те, у кого риск выше среднего, и в этом состоит неблагоприятный отбор. А купивший полис начинает вести себя чуть беспечнее, и такую беспечность называют моральным риском. Оба явления поднимают равновесную цену выше наших 6 400 рублей. Франшизы, осмотры перед заключением договора, ограничения покрытия и скидки за безубыточность отвечают именно на них, а не на вредность продавца.
Первый: какова вероятность события и откуда взята эта оценка, из статистики или из ощущения. Второй: каков размер убытка относительно вашего запаса прочности. Риск, который вы способны покрыть из накоплений без последствий, и риск разорительный устроены по-разному и требуют разных решений. Третий: что именно исключено из покрытия, то есть франшиза, оговорки, перечень непокрываемых причин. В этих пунктах и живёт разница между ценой и ожидаемой выплатой.
Где эта модель ломается
Курс требует у каждой модели указывать границы применимости, и у ожидаемой полезности они очерчены необычно точно.
Морис Алле (1953) предъявил пары лотерей, на которых люди систематически и воспроизводимо нарушают одну из аксиом фон Неймана и Моргенштерна, а именно аксиому независимости. Не единично и не по невнимательности: нарушения устойчивы и наблюдаются у тех, кто аксиому знает.
Мэтью Рабин (2000) доказал более разрушительное утверждение, и его стоит разобрать до конца. Предположим, человек при любом уровне состояния отказывается от игры, где с равными шансами теряет 100 долларов или выигрывает 110. Отказ выглядит совершенно обыденно, так поступило бы большинство. Дальше нужна только вогнутость функции полезности, никаких предположений о её виде. Из неё следует, что тот же человек обязан отказаться и от другой игры. В ней он с равными шансами теряет 1000 долларов или выигрывает любую сумму денег, в том числе миллиард.
Второй отказ не выглядит обыденным никак. Значит, посылка неверна: умеренную осторожность в мелких ставках нельзя объяснить кривизной полезности состояния, не получив нелепости в крупных. Обратите внимание на форму рассуждения. Перед нами не измерение, а теорема, и опровергает она не поведение людей, а объяснение этого поведения.
Что после этого остаётся от модели. Для крупных, редких и разорительных потерь она работает и даёт верный порядок величин. Это ровно те потери, ради которых страхование существует: наши 7 984 рубля против 6 400 получены именно этим способом. Для мелких повторяющихся ставок нужен другой механизм. Обычно его ищут в том, что человек оценивает не итоговое состояние, а выигрыш и проигрыш относительно точки отсчёта. Разбор ждёт в уроке о поведенческой экономике, в последнем модуле.
И это типичная судьба хорошей экономической модели, а не приговор ей. Вопрос к модели правильно ставить не как «верна или неверна», а как «в каком диапазоне величин она описывает наблюдаемое и чем это установлено». У ожидаемой полезности на этот вопрос есть внятный ответ, и в этом её сила, а не слабость.
Рассуждение исходит из того, что премия сравнивается только с ожидаемой выплатой. Но клиент покупает не ожидаемую выплату, а устранение разброса, и в его собственной оценке это стоит дороже: в задаче урока до 7 984 рублей при ожидаемой выплате 6 400. Выигрывают обе стороны, потому что оценивают один и тот же риск по-разному. Проверяемое возражение выглядит иначе и звучит так: превышает ли реальная цена ту, которую покупатель готов был бы заплатить, зная свою вероятность. Это вопрос о конкретном договоре, а не о страховании как устройстве.
Ключевые работы
| Daniel Bernoulli, «Specimen theoriae novae de mensura sortis», Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 175-192. Английский перевод вышел в Econometrica 22(1), 1954, 23-36 | 1738 | Петербургская задача: игра с бесконечной ожидаемой ценностью, за вход в которую никто не платит много. Предложено оценивать исходы не суммой, а убывающей с ростом состояния полезностью. |
| John von Neumann, Oskar Morgenstern, «Theory of Games and Economic Behavior», Princeton University Press. Аксиоматику ожидаемой полезности содержит приложение ко второму изданию 1947 года | 1944 | Показано, что предпочтения над лотереями, удовлетворяющие перечисленным аксиомам, представимы ожиданием некоторой функции полезности. Теорема о модели, а не наблюдение о людях. |
| Maurice Allais, «Le comportement de l'homme rationnel devant le risque», Econometrica 21(4), 503-546 | 1953 | Пары лотерей, на которых люди воспроизводимо нарушают аксиому независимости. Нарушения устойчивы и сохраняются у тех, кто аксиому знает. |
| Matthew Rabin, «Risk Aversion and Expected-Utility Theory: A Calibration Theorem», Econometrica 68(5), 1281-1292 | 2000 | Из одной вогнутости следует: отказ от игры «с равными шансами потерять 100 или выиграть 110 долларов» при любом состоянии влечёт отказ от игры «потерять 1000 или выиграть любую сумму». Умеренное неприятие риска в малых ставках вогнутостью не объясняется. |
Что подтвердилось, а что нет
Опровергнуто ещё петербургской задачей Бернулли (1738): игра с бесконечной ожидаемой ценностью существует, и правило велело бы отдать за вход любую сумму, чего не делает никто. Более обыденный случай того же рода даёт учебная монета из начала урока, где ожидаемая ценность плюс 100 000 рублей, и почти всеобщий отказ. Отказ не ошибка. Разброс исходов сам по себе есть то, за уменьшение чего люди готовы платить, и величина этой готовности считается, в задаче урока она равна 90 000 рублей. Правило работает там, где риск многократно повторяется и усредняется, и не работает там, где событие единично.
Теорема Рабина (2000) непараметрическая: о функции полезности не предполагается ничего, кроме вогнутости. Из отказа от игры «с равными шансами потерять 100 или выиграть 110 долларов» при любом уровне состояния следует отказ от игры «потерять 1000 или выиграть любую сумму денег». Первый отказ обыденнен, второй абсурден, значит, объяснение через кривизну полезности состояния для малых ставок не годится. Алле (1953) добавляет воспроизводимые нарушения аксиомы независимости. Модель держится в узкой форме, то есть для крупных, редких, разорительных потерь, где даёт верный порядок величин. А в ходу она как объяснение осторожности вообще.
Рассуждение молча приравнивает ценность полиса к ожидаемой выплате. Но покупается не ожидаемая выплата, а устранение разброса, и по собственной оценке покупателя это стоит дороже, в задаче урока до 7 984 рублей при ожидаемой выплате 6 400. Промежуток в 1 584 рубля не отнят у одной стороны в пользу другой. Он возник оттого, что стороны по-разному относятся к одному и тому же риску, так же, как выигрыш от обычного обмена возникает из разной оценки товара. Осмысленное возражение формулируется иначе и проверяемо: превышает ли цена конкретного договора то, что покупатель заплатил бы, зная свою вероятность.
Allais (1953) построил пары лотерей, на которых выбор людей противоречит аксиоме независимости, и нарушения оказались устойчивыми: они сохраняются у тех, кто аксиому знает, то есть это не невнимательность и не ошибка счёта. Устояло наблюдение, а не приговор модели, и разница здесь принципиальная. Теорема фон Неймана и Моргенштерна не страдает вовсе, она о том, что следует из аксиом, и остаётся верной независимо от поведения людей. Страдает чтение модели как описания поведения, и ровно в том диапазоне, где нарушения нашли. Для крупных, редких и разорительных потерь ожидаемая полезность даёт верный порядок величин, и на нём построен весь расчёт страхования в этом уроке.
Термины
- ожидаемая ценностьexpected value
- Сумма возможных исходов, взвешенных их вероятностями. Средний результат при многократном повторении одной и той же ситуации.
- ожидаемая полезностьexpected utility
- То же взвешивание, но применённое не к деньгам, а к полезностям соответствующих состояний. Величина, по которой в модели сравнивают рискованные варианты.
- неприятие рискаrisk aversion
- Предпочтение гарантированной суммы игре с той же ожидаемой ценностью. В модели соответствует вогнутости функции полезности.
- нейтральность к рискуrisk neutrality
- Безразличие к разбросу исходов при равной ожидаемой ценности. Разумное приближение для того, кто держит много независимых однотипных рисков сразу.
- эквивалент определённостиcertainty equivalent
- Гарантированная сумма, равноценная для человека данной рискованной ситуации. При неприятии риска меньше ожидаемой ценности этой ситуации.
- премия за рискrisk premium
- Разница между ожидаемой ценностью ситуации и её эквивалентом определённости. Максимум, который человек готов отдать за устранение разброса.
- актуарно справедливая премияactuarially fair premium
- Цена полиса, равная ожидаемой выплате по нему. При ней страховщик в среднем выходит в ноль, а покупатель с неприятием риска остаётся в выигрыше.
- объединение рисковrisk pooling
- Сведение многих независимых однотипных рисков в один портфель. Делает суммарную выплату предсказуемой, но при зависимых рисках не работает.
Практикум · Разобрать один свой риск до чисел
Задача состоит в том, чтобы довести до конца оценку одного настоящего риска и разобрать, из чего складывается разница между этой оценкой и ценой на рынке. Это разбор чисел, а не подготовка к покупке: курс не советует ни страховаться, ни отказываться, и никакого решения по итогам этой работы принимать не требуется.
- Выберите один риск из своей жизни, у которого есть внятный размер убытка: поломка техники, утрата телефона, ремонт машины, порча имущества у соседей. Оцените размер убытка L в рублях и вероятность p за год, грубо, но числом, и запишите, откуда взялась оценка вероятности.
- Посчитайте ожидаемый убыток, то есть произведение p на L. Это актуарно справедливая премия для вашего случая, и при ней продавец в среднем выходит в ноль.
- Найдите в любом открытом прайсе цену страховки или расширенной гарантии на такой случай. Разделите её на посчитанную величину и запишите, во сколько раз она больше. Это чтение опубликованного числа, а не выбор продукта: сравнивается устройство цены с устройством риска.
- Разберите получившуюся наценку на слагаемые: ожидаемая выплата, расходы на ведение дела, поправка на то, что полис охотнее берут люди с повышенным риском, прибыль продавца. Отметьте, какие из слагаемых можно оценить по открытым сведениям, а какие нельзя ничем. Затем вернитесь к своей оценке p и запишите, во сколько раз она может отличаться от истинной. Сравните это «во сколько раз» с наценкой из предыдущего шага: если ваша неуверенность в вероятности больше наценки, то наценка не главная неизвестная величина в задаче.
- Найдите в условиях договора франшизу, перечень исключений и требования к поведению страхователя. Неблагоприятный отбор состоит в том, что полис охотнее берут люди с повышенным риском, а моральный риск означает беспечность после покупки. Назовите, какое из условий отвечает на первое, а какое на второе. Оба явления разобраны в пятнадцатом уроке. Посчитайте, на сколько каждое условие уменьшает то, что застрахованный реально получит при наступлении случая.
Вопросы для самопроверки
Учебная игра: с равными шансами получить 1 000 000 рублей или отдать 800 000. Человек отказывается. Что из этого следует?
- Ничего об ошибке: разброс исходов стоит для него дороже, чем прибавка в 100 000 рублей
- Что он неверно посчитал ожидаемую ценность: она равна плюс 100 000 рублей, и отказ от такой игры есть ошибка в арифметике
- Что он считает выпадение орла менее вероятным, чем решки, и потому оценивает игру как невыгодную
- Что он предпочитает меньшую сумму большей
Состояние 640 000 рублей. Игра даёт с равными шансами 250 000 или 1 210 000, то есть ожидаемое состояние 730 000. Полезность равна корню из состояния. Чему равна премия за риск?
- 480 000 рублей
- Нулю: ожидаемое состояние выше нынешнего
- 90 000 рублей
- 300 рублей
Домохозяйство готово отдать за полное покрытие до 7 984 рублей, а актуарно справедливая премия равна 6 400. Что означает промежуток между этими числами?
- Ошибку в расчёте: обе величины обязаны совпадать
- Область цен, при которых договор улучшает положение обеих сторон
- Прибыль, которую страховщик наверняка получит по этому договору
- Сумму, которую домохозяйство переплачивает сверх честной цены
При каком условии объединение многих договоров позволяет страховщику относиться к суммарной выплате почти как к известной величине?
- При условии, что премия превышает ожидаемую выплату
- При условии, что вероятность убытка мала
- При условии, что все клиенты одинаково не любят риск
- При условии, что события по разным договорам независимы
Теорема Рабина (2000): отказ от игры «с равными шансами потерять 100 или выиграть 110 долларов» при любом уровне состояния влечёт отказ от игры «потерять 1000 или выиграть любую сумму». Какой вывод отсюда следует?
- Что в мелких ставках люди ведут себя неразумно, и теорема как раз измеряет величину этой неразумности
- Что вогнутость полезности состояния не объясняет неприятие риска в мелких ставках
- Что ожидаемая полезность неприменима к страхованию: раз она не объясняет мелкие ставки, к крупным редким потерям её тоже применять нельзя
- Что функция полезности состояния должна быть выпуклой, иначе мелкие отказы не объяснить
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- MIT 14.01 «Principles of Microeconomics», лекции 20 и 21 (OCW): Неопределённость, ожидаемая полезность и социальное страхование в исходной подаче, с разбором государственных программ.
- Daniel Bernoulli, «Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk», Econometrica 22(1), 1954: Английский перевод работы 1738 года. Четырнадцать страниц, читаются без подготовки. Полезно увидеть, как выглядела постановка задачи до всякого формального аппарата.
- Matthew Rabin, «Risk Aversion and Expected-Utility Theory: A Calibration Theorem», Econometrica 68(5), 2000: Двенадцать страниц с калибровочными таблицами. Образец того, как модель ограничивают изнутри: не наблюдением против неё, а выводом из её же посылок.
- Курс статистики этой школы, урок 6 «Закон больших чисел и центральная предельная теорема»: Почему разброс среднего убывает с числом наблюдений. Здесь на это опираются при разборе объединения рисков, а не пересказывают.