Горизонт инвестирования
Вложение не знает, когда вам понадобятся деньги, а от этого зависит смысл всех остальных чисел
Горизонт инвестирования задаёт день, когда человеку понадобятся деньги, а не свойство вложения: у двоих, купивших в один день одно и то же, итоги разошлись на 44 тысячи рублей со ста вложенных, потому что один забрал их на второй год, другой на пятый. Со сроком две величины идут в разные стороны. В учебной модели за двадцать пять лет разброс среднего результата за год падает с десяти тысяч до двух, а разброс итоговой суммы растёт с десяти до пятидесяти.
OpenStax Principles of Finance, главы 7-9 и раздел 15.1. Samuelson, Scientia, 1963. Pástor, Stambaugh, The Journal of Finance, 2012 · 24 мин · обновлено 24.09.2026
После урока вы сможете
- Понимать, что срок задаётся обязательством человека, а не свойством вложения
- Различать разброс итоговой суммы и разброс среднего за год, которые ведут себя в разные стороны
- Знать, когда порядок одних и тех же лет меняет итог, а когда нет
- Знать, что спор о сроке и риске идёт больше шестидесяти лет и не закрыт, и чем расходятся три его стороны
- Узнавать шаг, которым из верной арифметики выводят указание, чего делать с деньгами
Двое в один день вложили по сто тысяч рублей в одно и то же. Учебная стоимость этого вложения шла по годам так: 112 тысяч, потом 96, потом 124, потом 108 и на пятом году 140. Числа здесь и дальше учебные: они посчитаны для этого урока и ничьего настоящего результата не описывают.
Первому деньги понадобились в конце второго года, и он получил 96 тысяч, то есть меньше, чем вложил. Второй забрал их в конце пятого и получил 140 тысяч. Вложение было одно и то же, разброс у него был один, условия одни. Различались только дни, и различие вышло в 44 тысячи рублей на сто вложенных.
Отсюда фраза, которая и составляет содержание урока. Срок не свойство вложения. Вложение не знает, когда вам понадобятся деньги, и «инструмент на длинный срок» описывает не инструмент.
Откуда берётся срок
Раз срок задаёт не вложение, стоит разобрать, что же его задаёт. Задаёт его день, когда деньги понадобятся, то есть обязательство человека, а не бумага, в которую он их положил. Обязательство может быть договорным, может быть житейским, может быть просто задуманным. Общее у них одно: оно назначает дату.
У даты есть вторая величина, о которой говорят реже самой длины: её твёрдость. Платёж по договору сдвинуть нельзя: в назначенный день нужна назначенная сумма, и ждать нельзя. Задуманную покупку сдвинуть можно: если к сроку вышло меньше ожидаемого, человек подождёт год и купит потом.
Разница между этими двумя случаями больше, чем разница в несколько лет. У двоих может быть один и тот же срок в три года и совершенно разное положение: у первого недобор означает неисполненное обязательство, у второго перенос покупки. Одно и то же число лет описывает здесь два разных дела. Даты к тому же не стоят на месте: твёрдая может стать подвижной, а житейское намерение договорным обязательством.
И третья вещь, которая входит в срок и почти никогда не называется. Дат у человека обычно не одна. Одни деньги нужны через год, другие через десять, третьи неизвестно когда, и все они лежат вместе. Слово «срок» в единственном числе уже означает упрощение, и упрощение заметное.
Там, где говорят «срок», на деле стоят три разные вещи: сколько лет до даты, насколько твёрдо дата назначена и сколько таких дат у человека вообще. Первую называют почти всегда, вторую редко, третью не называют никогда. Все три относятся к человеку, а не к вложению, и ни одну из них курс за читателя знать не может.
Два числа, и оба про длинный срок
Теперь арифметика, вокруг которой ломается больше всего копий. Возьмём учебную модель: годы независимы, устроены одинаково, и разброс результата за один год равен десяти тысячам рублей. Модель назначена для наглядности, а настоящие годы ни независимыми, ни одинаковыми быть не обязаны.
Посчитаем в такой модели две разные величины. Первая из них, разброс среднего результата за год, говорит о том, насколько может разойтись средний темп, с которым деньги росли или убывали. Вторая, разброс итоговой суммы, говорит о том, насколько может разойтись то, что окажется на руках в конце срока.
Вот что с ними происходит по мере удлинения срока, в учебных тысячах рублей. За один год оба равны десяти. За четыре года среднее за год разойдётся на пять, а итог на двадцать. За девять лет: 3,3 и 30. За шестнадцать: 2,5 и 40. За двадцать пять лет: два и пятьдесят.
Числа расходятся, и расходятся навсегда. Разброс среднего за год сокращается: отдельные годы усредняются, крайности гасят друг друга, и средний темп становится всё более определённым. Разброс итоговой суммы при этом растёт: расхождение накапливается год за годом, и в конце оно больше, чем было в начале.
Оба утверждения верны одновременно, и в этом всё дело. Из первого получается «на длинном сроке результат становится предсказуемее». Из второго выходит «на длинном сроке сумма, которая окажется на руках, известна хуже». Противоречия нет: это два разных числа про один и тот же срок.
Оба вывода получены в модели, где годы независимы и устроены одинаково. Настоящие годы такими быть не обязаны, и степень их независимости можно измерить отдельно. О том, что известно про связь прошлых лет с будущими, идёт речь в уроке 12.
Остаётся заметить, каким из двух чисел человек будет платить. Он платит итоговой суммой, а не средним темпом за год: в назначенный день нужны рубли, а не характеристика ряда. Средний темп годится только для описания, и в кассе он не принимается. Из двух чисел про длинный срок в оборот попадает почти всегда первое.
Утверждение «на длинном сроке разброс сокращается» верно ровно про одно из двух чисел, про средний темп за год. Про итоговую сумму верно обратное. Услышав такую фразу, стоит спросить, разброс чего именно имеется в виду, потому что ответ на этот вопрос меняет смысл сказанного на противоположный.
Сто выгодных пари подряд
Всё это выглядит школьной арифметикой ровно до того места, где о ней начинают спорить всерьёз. Спорят больше шестидесяти лет, а начался спор с обеда. В 1963 году экономист Пол Самуэльсон предложил коллегам пари на подбрасывание монеты: он платит 200 долларов, если выпадает названная ими сторона, и получает 100, если выпадает другая. По ожиданию пари для соглашающегося выгодное: шансы равны, а выигрыш вдвое больше проигрыша.
Один из коллег отказался, и отказ его вошёл в историю. Одно такое пари он не берёт: сотню долларов потери он почувствует сильнее, чем двести выигрыша. А вот на сто таких пари подряд он согласен, потому что там, по его мнению, проиграть почти невозможно. Самуэльсон в ответ доказал, что так рассуждать нельзя: кто отказался бы от одного такого пари при любом размере своего богатства, тот обязан отказаться и от ста подряд.
Безопасности в числе повторений нет, и причину Самуэльсон назвал тут же. Коллега смотрел на одно число: после ста пари вероятность выйти в плюс выше 0,99, то есть проигрыш по итогу выпадает реже одного раза на сто попыток. Второго числа он не считал вовсе. Диапазон возможных потерь растёт вместе с числом пари: на одном можно потерять сто долларов, а на ста уже десять тысяч. Одна величина успокаивает, другая растёт, и обе описывают одну череду бросков.
У доказательства есть условие, и оно сильное: отказ должен держаться при любом богатстве, и при большом, и при малом. Вокруг этого условия спор потом и пошёл. Само утверждение при этом о принятии решений, а не о рынке. Монету нельзя приравнять к вложению: у неё шансы известны заранее, а броски между собой не связаны.
Доказано утверждение о выборе: кто отказывается от одного выгодного пари при любом уровне богатства, тот обязан отказаться и от череды таких пари. О рынке отсюда не доказано ничего: у монеты шансы известны заранее, а годы на рынке ни известными, ни независимыми быть не обязаны. Условие про любой уровень богатства сильное, и оспаривают у этого доказательства именно его.
Три позиции, и ни одна не снята
На рынке спорят о том же самом и теми же двумя числами. Одну сторону представляет Джереми Сигел, автор книги о вложениях на длинный срок. По двум столетиям американских доходностей он показывает, что разброс в расчёте на год на горизонте в несколько десятилетий гораздо ниже, чем на коротком горизонте. Величин из его книги курс не приводит: добраться до неё не удалось, а числа по пересказам не берутся. Позиция изложена здесь так, как её излагают его собственные оппоненты.
Вторую сторону представляют сам Самуэльсон и Цви Боди. Довод Боди из статьи 1995 года в журнале Financial Analysts Journal устроен так. Возьмём страховку, которая гарантирует безрисковый итог и оставляет весь верхний потенциал, и посчитаем её цену. Со сроком цена такой страховки растёт, а не падает. Значит, риск акций со сроком не убывает. Чисел этой работы курс тоже не приводит: сверить их не удалось.
Третья сторона появилась в 2012 году и сдвинула спор туда, где его не ждали. Любош Пастор и Роберт Стамбо разобрали американские доходности за 1802-2007 годы. Они развели два разброса, которые до них считали одним. Первый виден в прошлом ряду: его и меряет обычный счёт по прошлым годам. Со вторым живёт человек, не знающий, как ряд устроен на самом деле. Его авторы называют предсказательным и говорят, что для решений годится именно он.
Посчитанный так, разброс доходности в расчёте на год на пятидесятилетнем горизонте оказался не меньше чем в 1,3 раза выше, чем на однолетнем. Авторы не отрицают, что возврат к среднему долгосрочный разброс действительно снижает, и снижает сильно. По их счёту этого снижения не хватает, чтобы перекрыть незнание параметров, и потому у человека, принимающего решение, разброс со сроком не падает, а растёт. Считано всё на американских данных за два века, и итог зависит от того, какие предсказатели доходности взяты в модель.
Итог для курса такой: спор открыт, и закрывать его курс не берётся. Расходятся эти люди не данными и не арифметикой: счёт верен у всех, и данные во многом общие. Расходятся они тем, какую из посчитанных величин называть риском человека. То самое различение, которое в учебной модели выше выглядит безобидным, стоит здесь шести десятилетий спора и трёх школ.
Сигел меряет разброс, посчитанный по прошлому ряду в расчёте на год, и получает, что со сроком тот падает. Самуэльсон и Боди, меряя согласованность выбора и цену страховки, получают, что риск со сроком не убывает. Пастор и Стамбо меряют предсказательный разброс, в котором учтено незнание параметров, и получают, что со сроком он растёт. Побочная находка последней работы: финансовые директора компаний, восемь лет подряд ежеквартально называвшие свои границы для доходности рынка, считали годовой разброс десятилетней доходности минимум вдвое выше однолетнего.
Когда порядок лет решает
Есть вторая вещь, которую срок вносит в счёт, и её пропускают ещё чаще. Возьмём три учебных года: в один стоимость выросла на 30 %, в другой упала на 20 %, в третий выросла на 10 %. Годы одни и те же, меняем только их очерёдность.
Если сто тысяч рублей положены один раз и не тронуты, порядок не значит ничего. Множители перемножаются, а произведение от перестановки не меняется: при любой очерёдности выходит 114,4 тысячи. Это тот же счёт, что в уроке 6, где разбирается разница между арифметическим и сложным средним.
Теперь пусть человек вносит по сто тысяч рублей в начале каждого из трёх лет. Всего внесено триста тысяч, годы те же самые. При порядке «плохой год последним» выходит 282,4 тысячи. При порядке «плохой год первым» получается 387,4 тысячи. Разница больше ста тысяч рублей на одних и тех же трёх годах.
Плохой год действует на ту сумму, которая на него пришлась. У вносящего сумма к концу срока наибольшая, поэтому позднему плохому году есть что портить, а раннему почти нечего. Порядок перестал быть безразличным ровно в тот момент, когда появились взносы.
У того, кто в течение срока снимает, всё выходит зеркально. Пусть из миллиона рублей человек забирает по сто тысяч в начале каждого из тех же трёх лет. Порядок, который был лучшим для вносящего, здесь оказывается худшим: 756,6 тысячи против 861,6. Разница снова около ста тысяч, и по той же причине: у снимающего наибольшая сумма стоит в начале срока.
Порядок безразличен только тому, кто положил деньги один раз и не тронул их до конца срока. Стоит появиться регулярным взносам или регулярным изъятиям, и очерёдность лет входит в счёт наравне с самими годами. Оба этих случая встречаются чаще, чем случай нетронутых денег.
У этой зависимости есть имя: риск порядка лет. Он не добавляется к разбросу и не заменяет его, а живёт отдельно: разброс считается по годам, а порядок по тому, как деньги входили и выходили. В описаниях продуктов первое встречается часто, второе почти никогда.
Множителей три: 1,3, потом 0,8, потом 1,1. Без взносов: перемножьте их в любом порядке и получите 1,144, то есть 114,4 тысячи из ста. Со взносами: прибавляйте сто тысяч перед каждым годом и умножайте. Все шесть перестановок дают итоги от 282,4 до 387,4 тысячи, а для снятия из миллиона по сто тысяч от 756,6 до 861,6.
Срок меняет, какие вопросы имеют смысл
Разные сроки требуют разных вопросов к одному и тому же вложению, и вопрос не по сроку остаётся без пользы, даже если ответ на него точен. Средний результат за тридцать лет ничего не сообщает тому, кому деньги нужны через год: он описывает величину, которой этот человек не дождётся. Результат прошлого квартала так же бесполезен тому, у кого впереди тридцать лет: одна точка ряда о ряде не говорит. Оба числа могут быть посчитаны безупречно и оба при этом отвечать не на тот вопрос.
Тот же поворот виден и в сводах о фондах. Урок 8 разбирает свод, где картина на годовом горизонте и на пятнадцатилетнем оказывается разной, и разной по устройству, а не по случайности. Срок там не уточнение к выводу, а условие, без которого вывода нет.
И тогда получается вопрос, который стоит впереди всех прочих вопросов к тексту. Не «сколько это приносит», а «за какой срок посчитано и совпадает ли этот срок с моим». Если сроки не совпали, дальше можно не читать: число посчитано про другого человека.
Здесь особенно легко сорваться в совет
Дальше идёт место, где рассуждение обычно ломается, и форму этой поломки стоит показать прямо. Начинается всё с верной арифметики: со сроком разброс среднего за год сокращается. Потом делается один незаметный шаг. И вот уже из поведения числа выведено, что человеку делать со своими деньгами.
Шага между этими двумя вещами нет. Из того, как ведёт себя величина, никакое действие не следует само по себе: чтобы получилось указание, нужно добавить чью-то дату, чей-то доход и чьи-то обязательства. Их добавляют молча, и обычно по себе, а не по читателю. Лучшим свидетельством тому служит спор выше: арифметика у трёх сторон общая, а выводы разные.
Разберём, чего в таком выводе не хватает. Получится три пробела. Не хватает второго числа: разброс итоговой суммы за те же годы растёт. Не хватает даты и её твёрдости: без них непонятно, какое из двух чисел вообще относится к делу. Не хватает движения денег: при взносах и изъятиях к обоим числам добавляется порядок лет.
Проверять это на любом тексте о деньгах можно одним приёмом. Возьмите фразу и посмотрите, можно ли вырвать её из рассуждения и использовать как основание что-нибудь купить или продать. Если можно, значит, в ней уже подставлены чьи-то обстоятельства, и подставлены не ваши. Приём годится и для этого урока: его фразы устроены так, чтобы этого сделать было нельзя.
Из сказанного не следует, что длинный срок лучше короткого или что короткий безопаснее длинного. Следует, что при разных сроках работают разные числа, а при взносах и изъятиях к ним добавляется порядок лет. Что из этого важнее в вашем случае, зависит от даты, которую курс не знает. Решение зависит от обстоятельств, которых курс не знает: от вашего срока, дохода и обязательств.
Что этот модуль оставляет читателю
Три урока модуля складываются в одно утверждение, и стоит собрать его целиком. Мера разброса считается по прошлому окну и не знает вашей даты. Разнообразие вложений убирает несовпадающие неудачи и не трогает того, что приходит ко всем сразу. Срок решает, какое из посчитанных чисел вообще имеет к вам отношение.
Ни одно из трёх утверждений не превращается в указание, и это не оговорка юриста. Все три описывают устройство величин, а указание требует ещё двух вещей, которых в величинах нет: даты и обязательства. Их знает только сам человек, и подставить их за него нельзя ни из какого учебника. Числа, которое можно взять и приложить к своим деньгам, в модуле поэтому и нет: отдельно от человека такого числа не существует.
Дальше курс переходит к темам, вокруг которых больше всего шума. Урок 16 берёт инфляцию и разницу между номинальным и реальным. Урок 17 разбирает долг, где тот же множитель из урока 4 работает в обратную сторону. Урок 18 посвящён обещаниям дохода, и там читателю тоже будет очень хотеться совета.
Ключевые работы
| Пол Самуэльсон (MIT), Scientia | 1963 | Не исследование, а разбор одного пари: автор платит 200 долларов при выпадении названной стороны монеты и получает 100 при другой. Доказано, что отказ от одного такого пари при любом размере богатства обязывает отказаться и от 100 таких же подряд. Мерили не поведение людей, а согласованность выбора: вероятность выйти в плюс после ста пари выше 0,99, а диапазон возможных потерь растёт вместе с их числом. Текст сверен по авторизованному репринту, а номер тома и страницы первой публикации подтвердить не удалось. |
| Любош Пастор (Chicago Booth), Роберт Стамбо (Wharton), The Journal of Finance | 2012 | Байесовский разбор американских доходностей за 1802-2007 годы, два века данных. Авторы развели два разброса: тот, что виден в прошлом ряду и который меряет обычный счёт по прошлым годам, и предсказательный, который учитывает, что параметров ряда человек не знает. Мерили разброс доходности в расчёте на год на горизонте от одного года до пятидесяти лет: на пятидесятилетнем горизонте он оказался не меньше чем в 1,3 раза выше, чем на однолетнем. Числа сверены по рабочей версии NBER 14757, журнальная версия отдельно не сверялась. |
Что подтвердилось, а что нет
Спорят об этом больше шестидесяти лет, и все три позиции живы. Арифметику не оспаривает никто: разброс среднего результата за год со сроком падает, а разброс итоговой суммы за те же годы растёт (в учебной модели урока с десяти тысяч рублей до двух и с десяти до пятидесяти). Сигел по двум столетиям американских доходностей находит, что разброс в расчёте на год на горизонте в десятилетия гораздо ниже, чем на коротком. Величин его книги курс не приводит: сверить их не удалось. Самуэльсон и Боди отвечают, что риск со сроком не убывает: первый опирается на доказательство 1963 года про сто выгодных пари подряд, второй на цену страховки, которая со сроком растёт. Пастор и Стамбо в 2012 году получили третий ответ: если считать разброс так, как его видит человек, не знающий параметров ряда, то на пятидесятилетнем горизонте он в расчёте на год не меньше чем в 1,3 раза выше однолетнего. Данные американские, за 1802-2007 годы. Расходятся стороны не данными и не арифметикой, а тем, какую из величин называть риском человека.
Срок задаётся днём, когда человеку понадобятся деньги, то есть его обязательством. У двоих, купивших в один день одно и то же, сроки разные, если разные их даты: в учебном примере урока один забрал 96 тысяч рублей на сто вложенных, другой 140. К дате прилагается вторая величина, о которой говорят ещё реже, а именно её твёрдость: недобор к неподвижному платежу и недобор к переносимой покупке означают разные вещи.
Утверждение верно ровно в одном случае: деньги положены один раз и до конца срока не тронуты. Тогда годовые множители перемножаются, а произведение от перестановки не меняется. Как только в течение срока появляются взносы или изъятия, каждый год начинает действовать на свою сумму. В учебном расчёте урока три одних и тех же года дали при взносах итоги от 282,4 до 387,4 тысячи рублей, то есть разброс больше ста тысяч только от очерёдности.
Это арифметика, и её не оспаривает ни одна из трёх сторон шестидесятилетнего спора: расходятся они не в счёте, а в том, какую из двух величин называть риском человека. В учебной модели урока при разбросе годового результата в десять тысяч рублей за двадцать пять лет разброс среднего за год падает до двух тысяч, а разброс итоговой суммы растёт до пятидесяти. Обе величины получены в модели, где годы независимы и устроены одинаково. Настоящие годы такими быть не обязаны, и степень их связи между собой остаётся отдельным и измеряемым вопросом, которому посвящён урок 12. Из поведения этих чисел никакое действие не следует: платит человек итоговой суммой, а какое из двух чисел относится к делу, задаёт его собственная дата.
Термины
- срок вложенияinvestment horizon
- Время от вложения денег до дня, когда они понадобятся. Задаётся обязательством человека, а не свойствами вложения, и потому у двух владельцев одного и того же он разный.
- твёрдость срокаcommitment of the deadline
- Насколько назначенный день можно сдвинуть. У твёрдой даты недобор означает неисполненное обязательство, у подвижной перенос задуманного. Число лет при этом может быть одинаковым.
- разброс итоговой суммыterminal wealth dispersion
- Насколько может разойтись сумма, оказавшаяся на руках в конце срока. С удлинением срока растёт: расхождение накапливается год за годом.
- усреднение по годамtime diversification
- Сокращение разброса среднего результата за год по мере удлинения срока. Читается обычно как исчезновение риска, хотя разброс итоговой суммы за те же годы растёт.
- риск порядка летsequence risk
- Зависимость итога от того, в каком порядке пришли одни и те же годовые результаты. Возникает, когда в течение срока деньги вносят или снимают. Если их не трогают, порядок на итог не влияет.
- регулярный взносregular contribution
- Пополнение вложения через равные промежутки. Меняет вес разных лет в итоге: год, пришедшийся на маленькую сумму, влияет на итог слабее года, пришедшегося на большую.
- учебная модельtoy model
- Расчёт с условиями, назначенными для наглядности, а не измеренными. Числа такой модели показывают устройство явления и не описывают ни конкретный рынок, ни конкретный фонд.
Практикум · Свести чужой срок со своими датами
Упражнение на чтение, а не на планирование. Задача одна: у каждого попавшегося числа найти срок, на который оно посчитано, и сопоставить его со своими датами. Занимает около получаса и дальше делается за минуту.
- Соберите три финансовых сообщения, попавшихся вам за последнее время: рекламу, статью, разговор. Годится любое, где называется хоть какая-нибудь величина.
- Для каждого выпишите срок, о котором в нём идёт речь. Если срок не назван, отметьте это отдельно: без него ни средний результат, ни разброс прочитать нельзя.
- Рядом выпишите свои даты, причём все, какие есть, а не одну. У большинства людей их несколько, и совпадают они редко.
- Отметьте, к какой из ваших дат каждое сообщение вообще относится. Часто выясняется, что ни к какой: срок сообщения и ваши даты просто не пересекаются.
- Для одной своей даты допишите, твёрдая она или подвижная, то есть можно ли подождать год. Это не решение и не план: это та величина, без которой предыдущие числа не читаются.
Вопросы для самопроверки
Двое в один день вложили деньги в одно и то же. Первый забрал их через два года, второй через пять, и суммы вышли разные. В чём между ними была разница?
- Ни в чём существенном: вложение одно, и риск на обоих один
- В длине срока: чем он длиннее, тем меньше риск при любом вложении
- В дате, к которой нужны деньги
- В размере вложенной суммы: она и определяет, чем человек рискует
С удлинением срока разброс среднего результата за год сокращается. Что при этом происходит с разбросом итоговой суммы?
- Сокращается вместе с ним: это две записи одной величины
- Остаётся прежним: он задан вложенной суммой
- Сокращается медленнее, но к концу длинного срока тоже приходит почти к нулю
- Растёт: за большее число лет расхождение успевает накопиться
Три учебных года дали рост на 30 %, падение на 20 % и рост на 10 %. Когда порядок этих лет влияет на итог?
- Когда в течение срока деньги вносят или снимают: тогда разные годы приходятся на разные суммы
- Всегда: перемножение годовых результатов зависит от того, в каком порядке их брать
- Только когда среди лет есть убыточный: он сбивает счёт всех последующих
- Никогда: итог определяется набором лет, а не их очерёдностью
«У вас длинный срок, значит, качка вам не важна». Что не так в этом рассуждении?
- Ничего: на длинном сроке разброс итоговой суммы усредняется и сходит на нет
- Оно берёт одно из двух чисел и молчит о втором, обратном
- Оно путает разброс результатов с просадкой, а важна на длинном сроке именно она
- Оно опирается на прошлые данные, которых мало
Экономисты больше шестидесяти лет спорят, падает ли риск акций с удлинением срока. В чём именно они расходятся?
- В данных: у сторонников длинного срока ряды длиннее, чем у их противников
- В арифметике: одна из сторон ошибается в счёте, и ошибка найдена, но не признана
- Ни в чём существенном: спор давно решён, и со сроком риск вложения падает сам собой
- В том, какую из посчитанных величин считать риском человека
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- Ľuboš Pástor, Robert F. Stambaugh. Are Stocks Really Less Volatile in the Long Run? The Journal of Finance, 2012, 67(2):431-478: Первоисточник главного числа этого урока. Полезнее всего начало: там разведены два разброса и объяснено, почему для решения человека годится второй. Числа сверены по рабочей версии NBER Working Paper 14757, а журнальная версия отдельно не сверялась.
- Paul A. Samuelson. Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers. Scientia, 1963. Авторизованный репринт: Casualty Actuarial Society Forum, весна 1994, с. 49-56: Короткая статья, читается за один присест. Пари с монетой и ответ коллеги изложены там дословно, вместе с доказательством. Текст сверен по репринту, а номер тома и страницы первой публикации подтвердить не удалось.
- OpenStax Principles of Finance, главы 7-9 о временной стоимости денег и раздел 15.1: Открытый учебник под лицензией CC BY-NC-SA 4.0, фактическое ядро курса. Он даёт счёт для одного периода и для ряда платежей. Переход от разброса за один год к разбросу за много лет выведен в уроке из этого счёта, а не взят оттуда готовым.