Волатильность и риск
Разброс: честное число, которое меряет не совсем то, что читатель под ним понимает
Волатильность означает разброс результатов вложения вокруг их среднего и считается по уже случившемуся отрезку. Мера эта не различает порядок событий: два учебных шестилетних ряда дают разброс 9,0 и 8,9 тысячи рублей на вложенные сто, а худшая точка у первого остаётся сто тысяч, у второго опускается до 88 тысяч. Подъём и падение входят в меру одинаково, и риск человека, у которого назначена дата платежа, она не описывает.
OpenStax Principles of Finance, глава 13 «Statistical Analysis in Finance» и раздел 15.1. Cont (2001) · 23 мин · обновлено 01.10.2026
После урока вы сможете
- Знать, как считают разброс результатов и почему эту меру вообще выбрали
- Видеть её ограничения: симметричность, безразличие к форме ряда и опору на прошлое
- Знать, что у настоящих рядов доходности крупные отклонения случаются чаще, чем в нормальном распределении, и что на длинных промежутках эта разница слабеет
- Различать волатильность и риск человека, у которого есть срок и обязательства
- Не принимать ровную линию стоимости за отсутствие риска
Два учебных вложения, по сто тысяч рублей каждое. Через пять лет оба стоят по 122 тысячи. Числа здесь и дальше учебные: они придуманы для этого урока и показывают устройство, а не чей-то результат. Измеренные числа в уроке тоже будут, и у каждого названы работа, рынок и годы. Разница между вложениями видна только в том, как они шли к этому числу.
Первое росло ровно: 104 тысячи, потом 108, потом 112, потом 117 и наконец 122. Второе шло рывками: сначала 130, потом 90, потом 140, потом 95, и лишь на пятом году вышло на те же 122 тысячи. Человеку, который все пять лет не притрагивался к этим деньгам, разницы между ними нет никакой.
А человеку, которому деньги понадобились в конце четвёртого года, разница есть. У первого вложения на этот день 117 тысяч, у второго 95: расхождение в 22 тысячи рублей. Слово «риск» описывает здесь сразу две разные вещи, и весь урок о том, как их не спутать.
Три значения одного слова
В обиходе риском называют возможность, что случится что-то плохое. Значение честное, но неизмеримое: под него не подставишь число, и сравнить два вложения по нему нельзя. Поэтому в финансовых текстах слово почти всегда употребляют иначе.
Там риском называют разброс результатов. Насколько сильно итог года гуляет вокруг своего обычного значения: то заметно выше, то заметно ниже. Это уже величина, её считают из ряда чисел, и два вложения по ней сравнимы. Именно она стоит за словами «умеренный риск» и «высокий риск» в описаниях продуктов.
И есть третье значение, о котором думает читатель, когда читает первые два. Риск для него означает возможность не получить нужной суммы к нужному дню. Оно связано с разбросом, но не сводится к нему: в него входят ещё срок и обязательства, а их в ряду чисел нет. Три значения ходят в одних и тех же текстах под одним словом, и подмена происходит почти незаметно.
Обиходное значение риска нельзя посчитать, а значит, нельзя и сравнить два вложения между собой. Разброс придумали не для того, чтобы что-то скрыть, а чтобы получить сравнимую величину. Претензия к нему возникает не в момент подсчёта, а в момент, когда посчитанное выдают за ответ на третий вопрос.
Как считают разброс
Считают его так. Берут результаты за много одинаковых промежутков, обычно за годы. Находят среднее, а потом смотрят, насколько каждый год от него отклонился. Отклонения возводят в квадрат, усредняют и берут из полученного квадратный корень, чтобы вернуться к прежним единицам.
Получившееся число называют стандартным отклонением, а в разговоре о вложениях волатильностью. Оно отвечает ровно на один вопрос: насколько сильно результаты гуляют вокруг своего среднего. Если разброс годовых результатов равен девяти тысячам рублей на вложенные сто тысяч, то типичный год отклоняется от среднего примерно на такую величину. В деньгах это читается сразу, и потому дальше в уроке всё считается в рублях.
Ряд для такого счёта нужен длинный, и чем он короче, тем меньше число значит. По трём годам разброс тоже посчитается, и на бумаге он будет выглядеть так же убедительно. Но говорить он будет в основном о том, какие именно три года попались. Это общее свойство оценок по малому числу наблюдений, и в деньгах оно встречается постоянно: у нового продукта длинного ряда просто нет.
Мера, которая не различает
Возьмём два учебных ряда по шесть лет, оба на вложенные сто тысяч рублей. Первый качается ровно: то плюс девять тысяч, то минус девять, и так все шесть лет. Стоимость ходит между 109 и 100 тысячами и в конце шестого года возвращается к исходным ста.
Второй ряд устроен иначе. Пять лет он прибавляет по четыре тысячи, а на третьем году теряет двадцать. Стоимость идёт 104, 108, потом проваливается до 88, дальше 92, 96 и в конце снова сто тысяч.
Разброс у первого ряда составляет 9,0 тысячи, у второго 8,9. Мера практически одна и та же, а пережитое совершенно разное. У первого худшей точкой за все шесть лет остались исходные сто тысяч, и ниже стоимость не опускалась. У второго худшей точкой стали 88 тысяч в середине срока.
Для этой второй вещи есть отдельная мера под названием просадка: наибольшее падение от достигнутой вершины до следующей низшей точки. Её же считают при разборе бэктеста в уроке 10. У первого ряда просадка девять тысяч, у второго двадцать. Два числа описывают один и тот же ряд с разных сторон, и ни одно не заменяет другое. Заметьте при этом порядок величин: у второго ряда разброс даже чуть меньше, а провал вдвое глубже.
И ещё одно свойство разброса, которое хорошо видно на этих рядах. Год, когда вложение выросло на двадцать тысяч, и год, когда оно на двадцать тысяч упало, входят в меру совершенно одинаково. Отклонение возводится в квадрат, и знак при этом пропадает. Для арифметики это правильно, а для человека, у которого через месяц платёж, два таких года не равны никак.
Есть и ещё одно, что разброс описывает плохо: редкие крупные отклонения. Один очень плохой год влияет на меру сильно, но входит в неё как одно наблюдение из многих. Если такой год в измеренный ряд попал, число выйдет большим, а если не попал, число выйдет маленьким. Величина этого «если» из самого числа не видна, а ряды, где почти всё время тихо и изредка случается очень много, мера сглаживает по построению.
Разброс сжимает ряд до одного числа и по построению теряет порядок событий. Ровная качка на девять тысяч и спокойный рост с одним провалом на двадцать дают почти одно и то же значение. Если важно, насколько глубоко проваливалось и когда, разброс на этот вопрос не отвечает, а отвечает на него просадка.
Что показали настоящие ряды
До сих пор это было рассуждение об устройстве меры. Есть работа, которая говорит, как устроены настоящие ряды доходности. Рама Конт в 2001 году свёл вместе свойства, повторяющиеся на самых разных рынках: на валютных и индексных фьючерсах, на отдельных акциях. Данные там до 2000 года и в основном высокочастотные, то есть приращения за минуты и дни. Это не отдельное исследование, а сводка того, что к тому времени воспроизвелось много раз.
Для нашей темы важнее всего второе свойство из его списка. Крупные отклонения в настоящих рядах случаются заметно чаще, чем предсказывает колоколообразная кривая нормального распределения, та самая, по которой разброс обычно и читают. Такие ряды называют рядами с тяжёлыми хвостами. Вес хвоста меряют отдельным числом, и у нормального распределения оно равно нулю. На пятиминутных приращениях фьючерса на индекс S&P 500 Конт приводит 15,95, а на валютных фьючерсах 60 и 74.
Третье свойство из того же списка касается знака. У цен акций и у значений индексов крупные падения наблюдаются, а столь же крупных движений вверх нет. Разброс, как мы видели, возводит отклонения в квадрат и обе стороны считает поровну. На рядах, где стороны устроены по-разному, это уже не мелочь счёта.
И здесь курс обязан привести встречное, иначе разоблачение уйдёт дальше оснований. Четвёртое свойство в том же списке говорит: чем длиннее промежуток, за который считается доходность, тем ближе её распределение к нормальному. Тяжёлые хвосты свойственны прежде всего коротким промежуткам, и приведённые выше величины сняты с пятиминутных приращений.
Отсюда следует не «разброс бесполезен», а другое. Мера описывает не всё и хуже всего описывает короткие промежутки. «Мера неполна» и «мера не работает» различаются не оттенком: перед нами два разных утверждения.
Rama Cont, «Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues», Quantitative Finance, 2001. Это сводка свойств, воспроизведённых на многих рядах, а не одно измерение: валютные и индексные фьючерсы, отдельные акции. Данные до 2000 года, в основном высокочастотные. Величины веса хвоста взяты из таблицы 1 этой работы. Ни к какому конкретному продукту, фонду или счёту они не относятся, и с рынка на рынок не переносятся.
Разброс меряют по прошлому
Разброс считается по отрезку, который уже случился. Это описание прошлого, а не предсказание, и подменять одно другим нельзя. Если за измеренные десять лет обвала не было, в числе его нет, но это утверждение об отрезке, а не о мире.
Отсюда получается неприятная особенность. Спокойный участок делает меру маленькой ровно тогда, когда спокойствие тянется дольше всего. Число честно отражает то, что видело, и молчит о том, чего в его окне не происходило. Это тот же случай, что «эффекта не нашли» против «эффекта нет» из первого урока, только на другом материале.
Есть и обратная ловушка: слишком ровная линия. Стоимость вещи, которую перепродают каждый день, пересматривают каждый день, и все колебания видны. Вещь, цену которой пересматривают раз в год, даёт ряд из редких точек и выглядит спокойной. Ровность здесь оказывается свойством того, как часто смотрели, а не свойством самой вещи.
И третий случай, самый обыденный. Деньги на счёте не колеблются вовсе: сто тысяч рублей так и остаются ста тысячами. А сколько на них можно будет купить через десять лет, зависит от того, как за эти годы изменятся цены. Разброс номинала здесь равен нулю и не сообщает об этом ничего. Как считается вторая величина, разбирает урок 16.
Ровный ряд значений возникает по трём разным причинам, и только одна из них сводится к настоящему спокойствию вещи. Вторая причина в редкой переоценке: смотрели мало раз, между точками колебаться было нечему. Третья причина в том, что мерят в номинале, который не меняется по определению, тогда как купить на него можно разное. Ровная линия говорит о том, как считали, не меньше, чем о том, что считали.
Почему одно число значит разное
Теперь можно сказать главное различение урока. Разброс характеризует ряд чисел и ничего не знает о том, кому этот ряд принадлежит. Риск в третьем значении характеризует положение человека: это возможность не получить нужной суммы к нужному дню. Первое считается из данных, второе без человека не определено вовсе.
Возьмём ту же учебную качку в девять тысяч рублей в год. Первому человеку деньги нужны ровно через год: у него твёрдый платёж, который нельзя сдвинуть. Второму они не нужны ни в какой назначенный день, и он может подождать сколько угодно. Число разброса у обоих одно и то же, а означает оно почти противоположные вещи.
Для первого из них качка означает вероятность недобрать к дате. У такого недобора есть имя: риск недобора к сроку. Он зависит не от одного разброса, а от трёх вещей сразу: от разброса, от того, сколько времени осталось до даты, и от того, насколько твёрдо дата назначена. Разброс входит сюда как одно слагаемое из трёх, и подставлять его вместо целого ошибочно.
Есть и обратный случай, о котором говорят реже. Человек без назначенной даты может не выдержать качки вовсе не по арифметике, а потому что перестанет спать и закроет вложение в худший месяц. Это тоже часть его положения, и в ряду чисел её тоже нет. Курс отмечает, что такая часть существует, и не берётся её измерять.
Обязательства добавляют вторую несимметричность, уже не арифметическую. Если денег к сроку не хватит, человек не просто получает меньше: он не исполняет обязательство, и за этим тянутся отдельные последствия. Если денег окажется больше нужного, ничего особенного не произойдёт. Мера разброса считает оба отклонения одинаковыми, а обходятся они человеку по-разному.
Отсюда следует правило чтения, а не правило действия. Когда вам называют риск одним числом, стоит спросить, о чьём риске идёт речь. Без даты и обязательств это число не значит ничего конкретного ни для кого.
Из сказанного не следует ни «качки надо избегать», ни «качка не страшна». Следует только, что одно и то же число разброса означает для двух человек разное, и разбирается это по их срокам и обязательствам, а не по свойствам вложения. Решение зависит от обстоятельств, которых курс не знает: от вашего срока, дохода и обязательств.
И всё же мера не пустая
Из перечисленного легко сделать удобный вывод: разброс выдуман, забудьте о нём. Это была бы та же ошибка, только с другого конца. Разговор о финансовых обещаниях легко скатывается в «всё вокруг обман», и читателю от такого вывода не легче, чем от рекламы.
Посмотрим, что мера всё-таки умеет: это важнее, чем список её слабостей. Она считается по одному правилу для любых вложений, и потому две несравнимые на вид вещи становятся сравнимыми. Её нельзя подать выгоднее пересказом: у кого есть тот же ряд чисел, тот получит то же значение. И она объявляет свою область прямо: это разброс результатов за такой-то отрезок, и ничего сверх.
Ошибка, стало быть, не в мере, а в подстановке. Число, отвечающее на вопрос «насколько гуляли результаты», выдают за ответ на вопрос «чем я рискую». Первое можно посчитать, второе без ваших обстоятельств не определено. Мера остаётся полезной ровно в тех границах, которые сама и объявила.
Что дальше
Из урока стоит унести не три значения слова, а два вопроса. По какому отрезку посчитано названное число и что в этом отрезке было. И второй: меряет ли оно то, что важно при моей дате и моих обязательствах. Оба задаются вслух и не требуют никакой подготовки.
Урок 14 разбирает вторую половину темы: что делает разнообразие вложений и чего оно не делает. Урок 15 берёт срок: переменную, от которой зависит смысл всего остального. Ни один из трёх уроков не скажет, что вам делать, и это не осторожность формулировок, а прямое следствие сказанного выше.
Ключевые работы
| Rama Cont, «Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues», Quantitative Finance | 2001 | Не отдельное исследование, а сводка устойчивых свойств рядов доходности, воспроизведённых на разных рынках и инструментах: валютные и индексные фьючерсы, отдельные акции. Данные до 2000 года, в основном высокочастотные. Крупные отклонения в этих рядах случаются заметно чаще, чем предсказывает нормальное распределение: показатель, с которым убывает хвост распределения, у большинства рассмотренных наборов данных лежит между двумя и пятью, что исключает и нормальное распределение, и устойчивые законы с бесконечной дисперсией. Точная форма хвостов, оговаривает автор, определяется трудно. Мера веса хвоста на пятиминутных приращениях составляет 15,95 у фьючерса на индекс S&P 500, 60 и 74 у валютных фьючерсов, при нуле у нормального распределения. Четвёртое свойство из того же списка: чем длиннее промежуток, за который считается доходность, тем ближе её распределение к нормальному. |
Что подтвердилось, а что нет
В осторожной форме утверждение выжило: разброс служит сравнимой, воспроизводимой и проверяемой мерой того, насколько сильно гуляли результаты. В сильной форме, где он объявлен полной мерой риска, оно не держится. Мера считает подъём и падение одинаково, не различает ровную качку и редкий глубокий провал, считается по уже случившемуся отрезку и ничего не знает ни о дате, к которой человеку нужны деньги, ни о его обязательствах. И форма настоящих рядов не та, по которой разброс обычно читают: крупные отклонения в них случаются чаще, чем предсказывает нормальное распределение, и такое свойство воспроизведено на многих рынках.
Ряд значений выходит ровным по трём разным причинам, и лишь одна из них кроется в спокойствии самой вещи. Вторая причина в редкой переоценке по рынку: точек мало, и между ними колебаться нечему. Третья в том, что мерят в номинале, который не меняется по определению, тогда как купить на ту же сумму можно разное. Ровная линия сообщает о том, как считали, не меньше, чем о том, что считали.
Разоблачение здесь заходит дальше, чем позволяют основания. Мера считается по одному правилу для любых вложений, пересчитывается кем угодно по тому же ряду чисел и не зависит от того, кто её приводит. Она честно объявляет свою область: разброс результатов за названный отрезок. Тяжёлые хвосты, из-за которых мере и предъявляют главный счёт, свойственны прежде всего коротким промежуткам: чем длиннее период, за который считается доходность, тем ближе её распределение к нормальному. Ошибка не в самой мере, а в подстановке её на место вопроса о том, чем рискует конкретный человек к конкретной дате.
Это не одно измерение, а сводка свойств, воспроизведённых на многих рядах: валютные и индексные фьючерсы, отдельные акции, данные до 2000 года. Вес хвоста меряют отдельным числом, и у нормального распределения оно равно нулю. На пятиминутных приращениях фьючерса на индекс S&P 500 приведено 15,95, на валютных фьючерсах 60 и 74. Оговорка стоит в том же списке свойств и обязательна: тяжёлые хвосты свойственны прежде всего коротким промежуткам, и чем длиннее промежуток, за который считается доходность, тем ближе её распределение к нормальному. Приведённые величины сняты как раз с пятиминутных приращений. Отсюда следует «мера неполна», а не «мера не работает»: разброс по-прежнему считается и по-прежнему сравним между двумя вложениями.
Термины
- рискrisk
- Возможность того, что итог окажется не тем, на который рассчитывали. В финансовых текстах слово ходит сразу в трёх значениях: обиходном, измерительном (разброс результатов) и личном (не собрать нужной суммы к нужному дню).
- волатильностьvolatility
- Разброс результатов вложения вокруг их среднего, обычно за год. Описывает поведение ряда чисел и ничего не сообщает ни о сроке, ни об обязательствах владельца.
- стандартное отклонениеstandard deviation
- Мера разброса: квадратный корень из среднего квадрата отклонений от среднего значения. Считается по уже случившемуся отрезку и описывает только его.
- просадкаdrawdown
- Наибольшее падение от достигнутой вершины до следующей низшей точки. Мера того, как глубоко и долго приходилось терпеть, а не мера доходности.
- размахrange
- Разница между лучшим и худшим результатом ряда. Мера грубая: держится на двух крайних значениях и не замечает, что происходило между ними.
- риск недобора к срокуshortfall risk
- Возможность не собрать нужной суммы к назначенному дню. Зависит от трёх вещей сразу: от разброса результатов, от того, сколько осталось до даты, и от того, насколько твёрдо дата назначена.
- переоценка по рынкуmark to market
- Пересчёт стоимости вложения по текущей рыночной цене. Чем реже её делают, тем ровнее выглядит ряд значений, хотя сама вещь ведёт себя точно так же.
- окно измеренияmeasurement window
- Отрезок времени, по которому посчитана мера. Величина разброса зависит от него полностью: спокойный отрезок даёт маленькое число независимо от того, что бывало за его границами.
- тяжёлые хвостыheavy tails
- Свойство ряда, у которого крупные отклонения случаются заметно чаще, чем предсказывает нормальное распределение. У рядов доходности оно измерено на многих рынках, но относится прежде всего к коротким промежуткам: чем длиннее период, за который считается доходность, тем ближе её распределение к нормальному.
Практикум · Найти окно, по которому посчитан риск
Упражнение на чтение, а не на решение. Задача одна: у каждого названного риском числа найти отрезок, по которому оно посчитано, и сопоставить его со своей датой. Занимает около получаса и дальше работает само.
- Найдите три описания финансовых продуктов, где риск назван числом или словом («умеренный», «высокий», «низкий»). Берите те, что попались случайно, а не самые сомнительные: выборка должна быть честной.
- Для каждого выпишите отрезок, по которому величина посчитана: сколько лет, какие именно годы и как часто снимались значения. Если отрезок не назван, это и есть ваш результат по этому пункту.
- Отметьте, попал ли в отрезок хотя бы один год общего падения. Отрезок, начинающийся сразу после обвала, даёт маленькое число по построению, и заслуги продукта в этом нет.
- Проверьте, названа ли где-нибудь просадка, то есть насколько глубоко стоимость проваливалась от пика до дна. Разброс и просадка отвечают на разные вопросы, и по одному из этих чисел второе не восстанавливается.
- Допишите рядом свою дату: когда эти деньги понадобились бы вам и насколько твёрдо назначен день. Ничего решать не надо, достаточно увидеть, меняет ли ваша дата смысл названного числа.
Вопросы для самопроверки
Два учебных ряда за шесть лет дали почти одинаковый разброс: 9,0 и 8,9 тысячи рублей. Что из этого следует?
- По одному числу разброса нельзя восстановить, как именно шла стоимость: пути у этих рядов совсем разные
- Рисковали они одинаково: равный разброс при равном итоге и означает равный риск
- Разброс посчитан неверно: у разных путей значения обязаны различаться заметно
- Второй ряд спокойнее: у него и разброс меньше, и провалы мельче
Вложение переоценивают раз в год, и ряд его годовых значений выглядит почти ровным. О чём говорит эта ровность?
- О том, что колебания у него и правда меньше, чем у вещей, которые перепродают каждый день
- О том, что его стоимость защищена от общего падения и потому меняется слабее прочих
- Прежде всего о том, как часто на него смотрели
- О том, что мера разброса к таким вложениям неприменима и считать её здесь бессмысленно
Чем риск недобора к сроку отличается от разброса результатов?
- Ничем по существу: это одно и то же, названное по-разному
- Он зависит ещё и от того, когда нужны деньги и насколько твёрдо назначена дата
- Это та же величина, просто выраженная в рублях, а не в долях
- Он одинаков у всех, кто держит одно и то же вложение: недобор задаёт сам инструмент, а не человек
Разброс годовых результатов посчитали по десяти годам, и обвала в этих годах не случилось. Что отсюда следует?
- Что за следующие десять лет обвал стал вероятнее: после спокойных лет всегда приходят бурные
- Что обвалы в таких вложениях не случаются вовсе: за десять лет хоть один бы да попался
- Что мера посчитана неверно: разброс без обвала в ряду вообще не определён
- Что в измеренном окне обвала не было, а о том, чего в окно не попало, мера молчит
Почему год роста на двадцать тысяч и год падения на двадцать тысяч входят в разброс одинаково?
- Потому что для владельца они равнозначны: сколько потерял, столько потом и вернул
- Потому что отклонения возводят в квадрат, и знак при этом пропадает
- Потому что мера считается через среднее за все годы, а среднее от знаков не зависит
- Потому что падение всегда возмещается равным ростом
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- OpenStax Principles of Finance, глава 13 и раздел 15.1: Открытый учебник под лицензией CC BY-NC-SA 4.0, фактическое ядро курса. Глава 13 даёт статистический аппарат, раздел 15.1 разбирает риск и доходность отдельного вложения. Формулы разброса выведены там, а здесь они изложены словами и в рублях.
- Rama Cont. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 2001, 1(2):223-236: Сводка свойств рядов доходности, воспроизведённых на многих рынках: валютные и индексные фьючерсы, отдельные акции, данные до 2000 года. Оттуда взяты и тяжёлые хвосты, и встречное к ним четвёртое свойство (приближение к нормальному распределению на длинных промежутках). Читается тяжелее урока: половина текста занята статистикой.
- Курс школы «Статистика», уроки о разбросе и о том, что скрывает среднее: Тот же аппарат на общем материале: почему одно число не описывает ряд целиком. Дополнение к этому уроку, а не условие его понимания.