Независимые события: когда прошлое не меняет шансов

Независимые события это события, у которых исход одного не меняет вероятности другого. Бросок монеты не помнит предыдущих бросков, поэтому после пяти орлов шанс орла на шестом по-прежнему одна вторая. Для независимых событий вероятность того, что случатся оба, равна произведению их вероятностей. Выполняется ли независимость в реальной задаче, вопрос отдельный и измеряемый.

Правило умножения

Если события A и B независимы, вероятность того, что произойдут оба, равна произведению: P(A и B) = P(A) · P(B). Два орла подряд выпадают с вероятностью 1/2 · 1/2 = 1/4, десять подряд с вероятностью 1/1024.

Отсюда пример из курса о деньгах. Пусть тысяча фондов каждый год угадывает направление рынка с вероятностью одна вторая, и годы независимы. Ожидаемое число фондов, угадавших десять лет подряд, равно 1000 / 1024, около одного. То есть «чемпион десятилетия» появляется и без всякого умения, из одной только случайности.

Где кончается модель

Монета в таком расчёте не аналогия, а само условие. Модель кладёт три допущения: годы независимы, шанс равен ровно половине, все фонды одинаковы. Мир соблюдать их не обязан. Держится ли удача фонда от года к году, измеряют отдельно по данным о фондах.

Поэтому расчёт отвечает на узкий вопрос: сколько чемпионов выпадает без умения. Он не утверждает, что умения не бывает. Модель с независимостью полезна как точка отсчёта, с которой сравнивают реальные данные.

Где ошибаются

Самая известная ошибка это ошибка игрока: после серии красного в рулетке ставить на чёрное, потому что «пора». Если колесо честное, вращения независимы, и серия шансов не меняет. Обратная ошибка «горячая рука» тоже встречается: вера, что удачная серия продолжится, там, где события независимы.

Вторая ошибка: считать независимыми события, которые связаны. Дефолты по кредитам в кризис, отказы деталей одной партии, болезни в одной семье зависят от общих причин. Перемножение вероятностей в таких случаях сильно занижает шанс, что плохое случится одновременно.

Вопросы

Как проверить, что события независимы?

Сравнить вероятность одного события в целом и при условии, что другое произошло. Если они равны, события независимы. На данных это проверяют по частотам.

Чем независимые события отличаются от несовместных?

Несовместные события не могут произойти вместе, например выпадение орла и решки в одном броске. Независимые могут произойти вместе, и один не влияет на шанс другого. Несовместные события с ненулевой вероятностью всегда зависимы.

Что такое ошибка игрока?

Убеждение, что после серии одних исходов вероятность противоположного растёт. Для независимых событий это неверно: у монеты нет памяти.