Построить таблицу истинности онлайн по своей формуле

Введите формулу, и тренажёр построит для неё таблицу истинности по столбцам, от переменных к формуле целиком. Под таблицей он скажет, тавтология это, противоречие или формула, истинная лишь в части строк. Считает всё сам браузер, регистрация не нужна. Теория о том, как заполнять таблицу руками, собрана в уроке 7.

Как проходить

1. Наберите формулу в поле: до четырёх переменных, каждая обозначается одной заглавной буквой, латинской или русской.
2. Связки ¬, ∧, ∨, →, ↔ и скобки вставляйте кнопками панели под полем, туда, где стоит курсор.
3. Знаки ~, &, |, -> и <-> с клавиатуры тренажёр читает как ¬, ∧, ∨, → и ↔.
4. Нажмите «Построить». Кнопка «По одному столбцу» открывает таблицу постепенно, так удобнее сверять свой расчёт.

Как читать таблицу

Слева стоят переменные, в том порядке, в каком они встретились в формуле. Каждая строка задаёт один случай: какие переменные истинны (И), а какие ложны (Л). Строки перебирают все сочетания, и ни одно не пропущено. Первая строка целиком из И. Правая переменная меняет значение в каждой строке, соседняя с ней раз в две строки.

Правее идут части формулы, от простых к сложным. Каждый такой столбец считается по уже готовым столбцам и одной связке. Поэтому свой расчёт удобно сверять слева направо: ошибка сидит в первом столбце, где ваши И и Л разошлись с тренажёром. Часть, которая встретилась дважды, получает один столбец.

Заголовки показывают, как тренажёр прочёл формулу. Отрицание связывает сильнее, чем «и», «и» сильнее, чем «или», а «или» сильнее стрелок. Если столбец вышел не тот, что задуман, расставьте скобки. Цепочку стрелок без скобок тренажёр читает справа: из P → Q → R получится P → (Q → R).

Последний столбец выделен: это вся формула целиком, и её значения по строкам дают ответ. Что такое таблица истинности и как заполнять её без тренажёра, разбирает урок 7 «Таблица истинности».

Тавтология, противоречие, выполнимая формула

Когда достроен последний столбец, тренажёр считает в нём И. Если И стоит во всех строках, перед вами тавтология: формула истинна при любых значениях переменных. Противоречие устроено наоборот, в нём нет ни одной И. В остальных случаях тренажёр сообщает, в скольких строках формула истинна: у P → Q это 3 из 4.

В курсе есть и третье слово: выполнимая формула, то есть истинная хотя бы в одной строке. По этому определению тавтология тоже выполнима, а противоречие нет. Проверить себя можно на готовых примерах: кнопка «Другая формула» подставляет случайную из набора, где есть P ∨ ¬P и P ∧ ¬P.

Пригодится это, когда условий несколько и неясно, уживаются ли они. Соедините их через ∧ и посмотрите на последний столбец. Условия «кто-то из двоих выйдет», «первый не выйдет» и «второй не выйдет» выполнимы по отдельности. А (A ∨ B) ∧ ¬A ∧ ¬B тренажёр назовёт противоречием. Если же И нашлась, строки с ней и есть все способы выполнить условия разом.

Почему из противоречия следует что угодно, объясняет урок 9. А проверить, следует ли заключение из посылок, поможет тренажёр урока 8: там таблица ищет строку-контрпример.

Где таблица перестаёт помогать

Каждая новая переменная удваивает таблицу, поэтому строк 2ⁿ, где n обозначает число разных букв. Три буквы дают 8 строк, четыре дают 16, десять дают уже 1024, а двадцать больше миллиона. Тренажёр строит таблицы до четырёх переменных. На пятой он покажет, сколько вышло бы строк, и остановится: такая таблица не помещается на экране.

Вторая граница проходит не по размеру. Таблица видит только связки и внутрь буквы не заглядывает. Фраза «все люди смертны» для неё одна буква, истинная или ложная. Поэтому для кванторов, то есть слов «все» и «некоторые», таблиц истинности нет. Для них в курсе есть отдельный язык, с него начинается урок 14.

Когда строк слишком много, нужен способ, который не перебирает все случаи. Это вывод: заключение получают из посылок по правилам, шаг за шагом. В курсе ему посвящён модуль IV, натуральный вывод, и урок 10 начинается как раз с этого счёта строк. В уроке 12 есть свой тренажёр, построитель вывода, который проверяет каждый шаг.