Сложный процент
Множитель за тридцать лет, которому безразлично, чей он
Сложный процент начисляется на сумму вместе с уже набежавшими процентами, поэтому проценты за годы не складываются, а перемножаются. Миллион под семь процентов годовых за тридцать лет превращается в 7 612 255, тогда как простой процент даёт 3 100 000: множитель 7,61 против 3,10. Прибавка первого года равна 70 000, тридцатого 497 998, а ставка всё та же. Тот же множитель работает и на непогашенном долге.
Расчёты §3.1 базы фактов курса, а также OpenStax Principles of Finance, CC BY-NC-SA 4.0 · 22 мин · обновлено 15.09.2026
После урока вы сможете
- Считать множитель за срок и отличать его от линейного продления
- Понимать, почему интуиция ошибается тем сильнее, чем длиннее срок
- Пользоваться правилом семидесяти двух и знать, где оно врёт
- Видеть, что тот же множитель работает на непогашенном долге
Задачу стоит решить до чтения. Миллион отложили на тридцать лет под семь процентов годовых. Ставка одна и та же каждый год, и набежавшие проценты остаются в деле. Во что превратится миллион? Ответьте себе хотя бы примерно, в уме.
Обычно отвечают, что выйдет около трёх миллионов. Ход мысли простой и почти всегда одинаковый: семь процентов в год, тридцать лет, значит, сверху набежит примерно двести десять процентов. Ответ неверный, и ошибка тут не в мелочи. Настоящий итог составляет 7 612 255.
Разница между тремя миллионами и семью с половиной и есть предмет урока. Берётся она не из хитрости и не из мелкого шрифта. Берётся она из того, что проценты за годы не складываются, а перемножаются. Тот же множитель дальше объяснит и комиссию, и непогашенный долг, и рекламу с красивой средней доходностью.
Откуда берётся разрыв
Посмотрим на первые годы по отдельности. В первый год семь процентов берутся от миллиона и дают 70 000. Во второй те же семь процентов берутся уже от 1 070 000 и дают 74 900. В третий год они берутся от 1 144 900 и дают 80 143.
Вот и весь механизм. Процент каждый год считается от суммы, в которую уже вошли прошлые проценты. Прибавка не остаётся постоянной, она растёт вместе с суммой. Это и называется сложным процентом, в отличие от простого, где база не меняется и процент всегда берётся от вложенного.
Насколько именно растёт прибавка, стоит посмотреть в числах. В первый год она равна 70 000, в десятый уже 128 692, а в тридцатый 497 998. Ставка при этом не менялась ни разу: те же семь процентов, просто сумма под ними другая. Потому и говорят, что сложный процент разгоняется, хотя разгоняется не ставка, а база, от которой её считают.
Первые годы выглядят скучно, и в этом главная ловушка. За пять лет миллион превращается в 1 402 552, а линейное продление дало бы 1 350 000. Разница составляет 52 552, то есть меньше шести процентов вложенного. На коротком сроке интуиция ошибается, но ошибается незаметно.
Дальше разрыв растёт быстрее, чем срок. За пятнадцать лет множитель равен 2,76, а за тридцать 7,61. Срок удвоился, а результат вырос не вдвое, а в те же 2,76 раза. Каждый следующий кусок срока работает уже с накопленной суммой и потому весит больше предыдущего.
Сравнение двух сроков делает это ещё нагляднее. За двадцать лет миллион превращается в 3 869 684, а за тридцать в 7 612 255. Первые двадцать лет дали прибавку в 2 869 684, а последние десять добавили 3 742 571, то есть больше. Треть срока принесла больше, чем две трети до неё, и это не курьёз, а обычное поведение множителя.
«Семь процентов в год, тридцать лет, значит, плюс двести десять процентов» остаётся самой частой ошибкой в разговорах о деньгах. Так считается простой процент, и он даёт 3 100 000. Сложный даёт 7 612 255. Разрыв между двумя способами счёта достигает 4 512 255, то есть в четыре с половиной раза больше вложенного.
Где ломается интуиция
Интуиция устроена на постоянных прибавках. Зарплата растёт на столько-то в месяц, дорога прибавляет столько-то километров в час, а счёт за свет столько-то за киловатт. Во всех этих случаях будущее продлевается умножением на срок, и приём работает.
Со сложным процентом продлевать умножением нельзя. Постоянна здесь не прибавка, а множитель. Каждый год сумма умножается на 1,07, и тридцать лет означают тридцать умножений подряд, а не одно умножение на тридцать. Разница между двумя этими действиями и даёт 4 512 255.
Проверка на себе простая. Если вы прикидываете, сколько прибавится за год, и умножаете на число лет, ход мысли у вас линейный. Если прикидываете, во сколько раз вырастет за год, и возводите в степень числа лет, то сложный. Второе труднее сосчитать в уме, и потому голова по умолчанию делает первое.
Есть и вторая проверка, ещё нагляднее первой. Во сколько раз множитель за сорок лет больше множителя за двадцать? Интуиция отвечает «вдвое», потому что срок вдвое длиннее. На деле выходит 14,97 против 3,87, то есть больше чем в три с половиной раза, и ровно во столько же, во сколько растут деньги за те самые двадцать лет.
Отсюда следует вещь, из-за которой урок стоит в начале курса. На длинных сроках число лет решает больше, чем размер ставки. Восемь процентов за двадцать лет дают множитель 4,66, то есть 4 660 957 из миллиона, а семь процентов за тридцать дают 7,61 и 7 612 255. Ставка меньше, а денег больше, потому что степень весит больше основания.
Есть и обратный перегиб, тоже нередкий. Узнав про степень, легко решить, что за тридцать лет выйдет что-нибудь совершенно невероятное, например миллионов двадцать. Множитель растёт быстро, но не мгновенно: при семи процентах он равен 7,61, и это всё. Прикидку полезно проверять числом в обе стороны.
Правило семидесяти двух
Есть приём, который позволяет обойтись без калькулятора. Разделите 72 на ставку в процентах, и получится примерно срок удвоения. При семи процентах: 72 разделить на 7 будет 10,29 года. Настоящий срок удвоения равен 10,24 года.
Расхождение здесь около пятнадцати дней на десять лет, то есть для прикидки им можно пренебречь. Но точность у правила неодинаковая, и об этом обычно молчат. При трёх процентах оно даёт 24 года против настоящих 23,45 и завышает больше чем на полгода. При пятнадцати даёт 4,8 года против 4,96 и уже занижает.
Откуда взялось само число 72, стоит сказать одной фразой. Точный срок удвоения равен логарифму двойки, делённому на логарифм единицы плюс ставка, и при небольших ставках он близок к 69,3, делённым на ставку в процентах. Вместо 69,3 берут 72, потому что оно делится нацело на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12, а точность от такой замены страдает несильно.
Пользоваться им стоит именно как прикидкой, и лучше всего оно работает возле семи-восьми процентов. Зато прикидка выходит мгновенная. В тридцать лет при семи процентах умещается почти три удвоения: миллион, два, четыре, восемь. Точный ответ 7 612 255 лежит рядом с восемью миллионами, а получен он в уме за секунду.
Оно оценивает срок удвоения, а не будущую доходность: ставку в него подставляют свою, и откуда она возьмётся, правило не знает. Точность зависит от ставки: при 7 % расхождение с точным сроком составляет 0,04 года, а при 3 % превышает полгода. Для счёта в уме этого хватает, но не для расчёта.
Вниз работает так же
Теперь половина урока, которую обычно оставляют на потом. Множитель ничего не знает о том, чьи это деньги и на чьей они стороне. Формула у роста сбережений и у роста непогашенного долга одна и та же. Меняется только знак для того, кто в ней участвует.
Долг в 300 000 под те же семь процентов годовых, который тридцать лет не гасят, превращается в 2 283 677. Сверх взятого набежало 1 983 677, то есть в шесть с половиной раз больше самого долга. Ставка та же, срок тот же, множитель тот же 7,61.
Отсюда простая симметрия, которую стоит держать в голове целиком. Что срок делает для вложения, то он делает и для непогашенного остатка. Долгий срок бывает союзником не всегда: он союзник тому, у кого множитель работает вверх, и противник тому, у кого вниз. Сам по себе этот факт не довод ни за что: это свойство арифметики, а не совет.
Тридцать лет непогашенного долга задают нарочно крайнее условие, и в жизни оно встречается редко. Взято оно ради сравнения: тот же срок, та же ставка, тот же множитель, что и у вложения. Как только долг гасят частями, картина меняется, и меняется сильно. Но меняет её расписание платежей, а не свойства множителя, и считается она уже другой формулой.
Ради сравнения ставка в семь процентов взята здесь учебной и одинаковой для обеих сторон. Какой она окажется по конкретному договору, курс не обсуждает: это условие договора, а не свойство формулы. Урок 17 разбирает, как читать условия долга и чем полная стоимость отличается от названной ставки.
Ничего готового. Из того, что множитель работает в обе стороны, не следует ни гасить долг быстрее, ни откладывать больше: у одного человека дорогой долг, у другого дешёвый, у третьего короткий срок. Курс показывает величину и не назначает решения. Решение зависит от обстоятельств, которых курс не знает: от вашего срока, дохода и обязательств.
Чего множитель не обещает
У всей этой арифметики есть граница, и назвать её надо прямо. Расчёт отвечает на вопрос «сколько будет, если ставка окажется такой». Он не отвечает на вопрос «какой она окажется». Семь процентов в примерах взяты как условие задачи, а не как прогноз и не как обещание.
Вторая граница важнее первой. Настоящая доходность не бывает одинаковой из года в год, а формула предполагает ровную ставку. Череда лет с разбросом даёт не тот итог, что ровная ставка с той же средней. Насколько не тот, считает урок 6, и разница получается крупная.
И третья граница, о которой забывают чаще прочих. Сумма 7 612 255 через тридцать лет не равна 7 612 255 сегодняшним: за тридцать лет меняется и то, что на эти деньги можно купить. Номинальная величина и реальная различаются, и урок 16 считает вторую отдельно. Пока же держите в голове, что множитель считает единицы, а не то, что за них дают.
Поэтому у расчёта вроде нашего спрашивают не только ставку и срок, но и то, откуда взялась ставка. Первые две величины называют почти всегда. Третью не называют почти никогда, а решает чаще всего именно она.
Тренажёр урока
Тренажёр даёт покрутить оба условия руками: срок от одного года до сорока и ставку от одного процента до пятнадцати. Числа в нём помечены учебными прямо на экране, потому что ставка там служит условием расчёта, а не предсказанием. Сумма всюду одна, миллион, и от суммы результат зависит пропорционально.
Сверху три плитки: сложный множитель за выбранный срок, множитель при простом проценте и число лет на удвоение. Под ними график с двумя линиями. Тяните срок влево, к пяти годам: линии почти сливаются. Тяните вправо, к сорока: между ними уже пропасть.
Ниже тренажёр считает то же самое в деньгах и считает в обе стороны. Сначала миллион под выбранную ставку, потом долг в 300 000 под неё же. Обе таблицы двигаются от одних и тех же ползунков, и так виднее, что множитель тут один.
Стоит попробовать и другой край. Поставьте ставку на минимум и посмотрите, что останется: при одном проценте за тридцать лет множитель равен всего 1,35, и миллион превращается в 1 347 849. Между одним процентом и семью разница в ставке семикратная, а итоги различаются больше чем в пять с половиной раз.
Что дальше
Из урока стоит унести одно действие: не продлевать проценты умножением на срок. Множитель возводится в степень, и на длинных сроках это меняет ответ в разы. Проверять себя удобнее всего правилом семидесяти двух: оно грубое, зато мгновенное.
Урок 5 берёт тот же множитель и вычитает из ставки полтора процента комиссии. Казалось бы, мелочь: было семь процентов, стало пять с половиной. За тридцать лет из 7 612 255 остаётся 4 983 951, то есть треть итога уходит. Это самый арифметический сюжет курса и самый недооценённый.
Урок 6 показывает третью сторону той же арифметики. Речь там пойдёт о средней доходности, которая бывает нулевой при потере четверти денег. Все три урока модуля об одном свойстве процентов: они не складываются.
Множитель в обе стороны
Срок и ставка задаются ползунками, а рядом нарисовано линейное представление, по которому считает интуиция. Видно, где она ломается, и что тот же множитель работает на долг.
Что подтвердилось, а что нет
Так считает линейное продление: тридцать лет по семь процентов, значит, плюс двести десять процентов. Простой процент действительно даёт множитель 3,10, то есть 3 100 000 из миллиона. Сложный даёт 7,61 и 7 612 255. Разница в 4 512 255 берётся оттого, что процент каждый год считается от выросшей суммы, а не от вложенной.
Оно даёт прикидку и ошибается тем сильнее, чем дальше ставка от семи-восьми процентов. При 7 % правило показывает 10,29 года против точных 10,24, и расхождение составляет около пятнадцати дней. При 3 % оно даёт 24 года против 23,45 и завышает больше чем на полгода, а при 15 % занижает: 4,8 против 4,96. Как приём устного счёта правило держится, но не как формула.
Множитель за срок не зависит от того, кому принадлежит сумма: и там и там это единица плюс ставка в степени числа лет. Долг в 300 000 под семь процентов годовых за тридцать лет превращается в 2 283 677, набирая сверх взятого 1 983 677. Отличается не арифметика, а то, на чьей стороне она работает.
Термины
- сложный процентcompound interest
- Начисление, при котором процент считается от суммы вместе с уже набежавшими процентами. За тридцать лет при 7 % годовых даёт множитель 7,61, а не 3,10, как простой. Работает одинаково на вложении и на непогашенном долге.
- простой процентsimple interest
- Начисление, при котором процент всегда считается от первоначальной суммы. За тридцать лет при 7 % годовых даёт множитель 3,10: тридцать одинаковых прибавок по семь процентов вложенного.
- множитель за срокgrowth factor
- Во сколько раз сумма вырастает за весь срок: единица плюс ставка, возведённая в степень числа лет. При 7 % годовых и тридцати годах равен 7,61. Величина безразлична к тому, вложение это или долг.
- правило семидесяти двухrule of 72
- Приём устного счёта: 72, делённые на ставку в процентах, дают примерный срок удвоения. При 7 % даёт 10,29 года против точных 10,24. Точность зависит от ставки и падает на очень низких и очень высоких.
- срок удвоенияdoubling time
- Число лет, за которое сумма при неизменной ставке вырастает вдвое. При 7 % годовых это 10,24 года. В тридцать лет при такой ставке умещается почти три удвоения.
- капитализация процентовcompounding
- То, что набежавшие проценты остаются в сумме и на следующий год сами приносят процент. Если забирать их каждый год, рост становится простым, и множитель за тридцать лет падает с 7,61 до 3,10.
- непогашенный остатокoutstanding balance
- Часть долга, которая ещё не выплачена и на которую начисляется процент. Растёт по тому же закону, что и вложение: 300 000 под 7 % годовых за тридцать лет превращаются в 2 283 677.
Практикум · Посчитать свой множитель
Навык этого урока состоит в том, чтобы не верить линейной прикидке и проверять её степенью. Задача занимает четверть часа и один калькулятор. Считается на любом обещании, которое попалось вам на глаза само.
- Возьмите любое финансовое обещание из тех, что попались вам за неделю: реклама вклада, условия рассрочки, статья о накоплениях. Выпишите из него две величины: ставку в процентах годовых и срок в годах.
- Прикиньте итог линейно, как это делает голова: ставку умножить на число лет и прибавить сто процентов. Запишите результат, ни с чем не сверяясь. Это ваша интуитивная оценка, она понадобится для сравнения.
- Теперь посчитайте множитель как степень: единица плюс ставка, в степени числа лет. Калькулятор в телефоне это умеет. Разделите одно на другое и посмотрите, во сколько раз ошиблась интуиция.
- Примените правило семидесяти двух: 72 разделить на ставку. Сколько удвоений умещается в вашем сроке? Сравните с точным ответом из прошлого шага, и расхождение покажет, насколько грубая эта прикидка на вашей ставке.
- Проделайте то же самое с той же ставкой, но для непогашенного долга. Число выйдет ровно то же, а читаться будет иначе. Вот это различие в чтении при одинаковой арифметике и есть главный итог урока.
Вопросы для самопроверки
Миллион под 7 % годовых, тридцать лет. Ставка одна и та же каждый год, проценты остаются на счёте. Во что он превратится?
- Примерно в 3 100 000: проценты за годы складываются, и выходит двести десять процентов сверху
- Примерно в 4 300 000: чем больше сумма, тем меньше очередная прибавка сказывается на итоге
- В 7 612 255: множитель за тридцать лет равен 7,61
- Примерно в 21 000 000: каждый следующий год прибавляет столько же, сколько все прошлые вместе
Почему на коротком сроке сложный процент никого не удивляет, а на длинном удивляет всех?
- Разница появляется только после первого удвоения, а на коротком сроке его не бывает
- За пять лет сложный и линейный счёт расходятся на 52 552, а за тридцать на 4 512 255
- Короткие сроки принято считать простым процентом, а длинные сложным
- На длинном сроке к процентам добавляется ещё и рост самой ставки
Что даёт правило семидесяти двух и какова его точность?
- Оно даёт точный срок удвоения, потому что 72 делится нацело на большинство ходовых ставок
- Оно показывает, во сколько раз вырастет вложение за семьдесят два года
- Оно оценивает срок удвоения и точнее всего работает на ставках ниже трёх процентов в год
- Оно оценивает срок удвоения: при 7 % даёт 10,29 года против настоящих 10,24
Долг в 300 000 под 7 % годовых не гасят тридцать лет. Что с ним происходит?
- Он растёт тем же множителем 7,61 и через тридцать лет составит 2 283 677
- Он растёт медленнее: по долгу процент берут с первоначальной суммы
- Он вырастет на 210 % и составит 930 000: проценты за годы складываются
- Он растёт быстрее: по долгам процент начисляют чаще, чем раз в год, и множитель от этого больше
Из расчёта «миллион под 7 % годовых за тридцать лет даёт 7 612 255» следуют три вещи из четырёх. Какая не следует?
- Что при этой ставке вложенное удваивается примерно за 10,24 года
- Что линейное продление ошибается на 4 512 255 за тот же срок
- Что вложение принесёт 7 612 255 за тридцать лет
- Что непогашенный долг в 300 000 под ту же ставку вырастет до 2 283 677
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- OpenStax Principles of Finance, главы о временной стоимости денег: Открытый учебник под лицензией CC BY-NC-SA 4.0, откуда курс берёт финансовый минимум. Формула множителя выведена там подробно и с примерами на оба знака.
- Курс школы «Критическое мышление», разбор чисел в новостях: Тот же приём на другом материале: проверять величину, названную в удобных для рассказчика единицах. Дополнение к уроку, а не условие его понимания.