Среднегодовая доходность (CAGR)
Ноль процентов в год при потере четверти денег, причём и то и другое посчитано верно
Среднегодовая доходность считается двумя разными способами, и вкладчику отвечает только один из них. Арифметическое среднее пары лет «плюс пятьдесят и минус пятьдесят» равно нулю, а миллион за эти два года превращается в 750 000. Сложное среднее, та единственная ставка, которая привела бы к тому же итогу, равно здесь минус 13,40 % в год, а у пары «плюс сто и минус пятьдесят» арифметическое среднее +25 % в год стоит рядом со сложным 0,00 %.
Расчёты §3.2 и §3.3 базы фактов курса, а также OpenStax Principles of Finance, CC BY-NC-SA 4.0 · 23 мин · обновлено 15.09.2026
После урока вы сможете
- Различать среднее арифметическое и сложное среднее годовой доходности
- Считать итог перемножением, а не сложением годовых процентов
- Знать, почему возврат после падения требует большего роста
- Читать «среднюю годовую доходность» как неполное утверждение
Два года из жизни вложения. В первый оно выросло на 50 %, во второй упало на 50 %. Средняя годовая доходность составляет ноль процентов. Значит, деньги остались при своих?
Посчитаем руками, это две строчки. Сто превращается в сто пятьдесят: плюс половина. Минус пятьдесят процентов от ста пятидесяти дают семьдесят пять. Путь вышел такой: 100 → 150 → 75.
За два года «нулевой средней доходности» потеряна четверть. На миллион это 750 000 вместо миллиона. Ошибки в подсчёте среднего при этом нет: ноль и есть честное среднее арифметическое, плюс пятьдесят и минус пятьдесят пополам. Просто арифметическое среднее отвечает не на тот вопрос, который задаёт вкладчик.
Два разных средних
Средних тут два, и называются они почти одинаково. Среднее арифметическое равно сумме годовых доходностей, делённой на число лет. Это и есть наш ноль. Отвечает оно на вопрос: сколько в среднем прибавлял год.
Сложное среднее описывает другую величину. Это единственная ставка, которая при повторении каждый год привела бы к тому же итогу. Для нашей пары лет она равна −13,40 % в год. Проверить легко: сто, умноженное на 0,866 дважды, даёт семьдесят пять.
Считается сложное среднее в два действия, и оба простые. Сначала годовые проценты превращают в множители: плюс пятьдесят даёт 1,5, а минус пятьдесят 0,5. Потом множители перемножают и извлекают из произведения корень по числу лет. Для нашей пары: 1,5 умножить на 0,5 будет 0,75, а корень из 0,75 равен 0,866, то есть минус 13,40 процента в год.
Оба числа посчитаны верно и означают разное. Арифметическое описывает средний год, а сложное показывает скорость, с которой на деле росли деньги. Вкладчику отвечает второе, а показывают ему почти всегда первое.
Причина, по которой показывают первое, простая и не всегда злая. Арифметическое среднее никогда не бывает меньше сложного, а при скачках доходности оно заметно больше. Число выходит красивее, а посчитано честно, и придраться не к чему, пока не спросишь, какое это среднее.
Три череды лет
Три пары лет, посчитанные до конца. Первая (плюс пятьдесят и минус пятьдесят) даёт арифметическое 0 % и сложное −13,40 % в год, а от миллиона осталось 750 000. Вторая (плюс двадцать и минус двадцать) даёт арифметическое тоже 0 % и сложное −2,02 % в год, а от миллиона осталось 960 000.
Третья пара самая наглядная. Плюс сто процентов и минус пятьдесят: арифметическое среднее +25 % в год, а сложное ровно 0,00 %. Миллион удвоился до двух миллионов и вернулся к миллиону. Фраза «Средняя доходность 25 % годовых за два года» оказывается чистой правдой, а денег ровно столько, сколько было.
Проделаем со второй парой тот же счёт, чтобы приём закрепился. Плюс двадцать даёт множитель 1,2, а минус двадцать 0,8. Их произведение равно 0,96, корень из него 0,9798, то есть −2,02 % в год. Миллион превращается в 960 000: потеря небольшая, а средняя арифметическая доходность и здесь ровно ноль.
Вторая пара показывает, отчего зависит разрыв между средними. При колебании в двадцать процентов он всего 2,02 пункта, а при пятидесяти уже 13,40. Чем сильнее скачет доходность, тем дальше расходятся два средних. При ровной череде лет они почти сходятся, и тогда разница действительно мелочь.
Стоит заметить, насколько неровно растёт это расхождение. Размах колебаний увеличился всего в два с половиной раза, а расстояние между средними в шесть с половиной. Зависимость не линейная, и потому на спокойной череде лет спор о видах среднего беспредметен, а на бурной решает всё.
Утверждение может быть верным ровно в тот момент, когда денег у вкладчика не прибавилось ни на единицу. Плюс сто процентов и минус пятьдесят дают арифметическое среднее +25 % в год и сложное 0,00 % в год. Миллион уходит в два миллиона и возвращается к миллиону. Спрашивать поэтому надо не размер средней доходности, а её вид и срок.
Почему проценты не складываются
Причина у всего этого одна, и она проще, чем кажется. Процент считается от базы, а база каждый год другая. Плюс 50 % от ста дают пятьдесят. Минус 50 % от ста пятидесяти отнимают семьдесят пять.
Одинаковый процент дал разные деньги: пятьдесят пришло, семьдесят пять ушло. Складывать проценты можно только тогда, когда они берутся от одной и той же суммы. За разные годы они берутся от разных сумм, поэтому складывать их нельзя.
Отсюда же и множитель из урока 4. Годы не суммируются, а перемножаются: 1,5 умножить на 0,5 даёт 0,75. Три четверти и есть итог за два года. Сложное среднее просто извлекает из этого итога корень по числу лет.
Вторая половина: несимметричность падения
Тот же счёт, повёрнутый другой стороной, даёт вещь, которую стоит знать отдельно. Вложение упало на 50 %. На сколько процентов надо вырасти, чтобы вернуться в исходную точку? Не на пятьдесят, а на сто.
В деньгах это видно сразу. От миллиона осталось 500 000. Чтобы снова стало 1 000 000, надо заработать 500 000. Но 500 000 от оставшихся пятисот тысяч составляют сто процентов, а не пятьдесят.
Дальше ряд растёт очень быстро. Падение на 10 % отыгрывается ростом на 11,1 %. Падение на 20 % требует роста на 25 %, а падение на 30 % роста на 42,9 %. Расстояние между падением и нужным ростом увеличивается с каждой строкой, и увеличивается всё быстрее.
Крайние строки ряда выглядят почти неправдоподобно. После падения на 80 % от миллиона остаётся 200 000, и заработать надо 800 000, то есть четыреста процентов от того, что есть. После падения на 90 % остаётся 100 000, и заработать надо 900 000, то есть девятьсот процентов. Сумма к возврату почти одна и та же, а процент растёт больше чем вдвое, потому что считается он от разного.
База и здесь делает всю работу. Падение считается от большой суммы, а восстановление от маленькой, от оставшейся. Поэтому одинакового процента не хватает, и не хватает тем сильнее, чем глубже падение.
Одинаковые проценты вверх и вниз дают разные деньги, потому что берутся от разных сумм. От миллиона после падения на 50 % остаётся 500 000, и рост на 50 % вернёт только 750 000. Чтобы вернуть миллион, нужен рост на 100 %. Проверять такие пары надо не сложением процентов, а перемножением множителей: 0,5 умножить на 1,5 даёт 0,75, а не единицу.
Обе вещи об одном
Два сюжета этого урока выглядят разными, а устроены одинаково. В первом среднее арифметическое обещало ноль, а вышло минус тринадцать с лишним процентов в год. Во втором минус пятьдесят потребовали плюс ста. И там и там ошибка в одном месте: проценты сложили, как будто у них общая база.
Отсюда общее правило модуля. С процентами за разные годы нельзя обращаться как с числами, которые складывают и усредняют по-школьному. Их перемножают, а средним у них служит корень из произведения. Комиссия из урока 5 устроена так же: полтора процента вычитаются из ставки, а не из итога.
Проверять себя удобно одним движением. Возьмите годовые проценты и перемножьте множители: 1,5 на 0,5, или 1,2 на 0,8, или 2,0 на 0,5. Если произведение меньше единицы, деньги убыли, какой бы ни была средняя доходность на витрине.
Граница у сложного среднего
Тут стоит остановиться и не перегнуть. Сложное среднее правильно отвечает на вопрос вкладчика, но и оно описывает не всякий случай. Считается оно для суммы, вложенной разом и не тронутой до конца срока.
Если деньги вносились частями, итог зависит ещё и от того, когда именно они вносились. Год с большой доходностью весит много, если к его началу на счёте лежала крупная сумма, и почти ничего не значит, если счёт был почти пуст. Одно число всей истории тогда уже не описывает, и это не порок числа, а свойство задачи.
Отсюда правило, годное на весь курс. У каждой посчитанной величины есть вопрос, на который она отвечает. Ошибка почти никогда не в подсчёте, а в том, что ответ на один вопрос выдают за ответ на другой. Дальше в курсе это повторится не раз, и уже без всякой арифметики.
Что спрашивать, увидев среднюю доходность
Практический вывод короткий. «Средняя годовая доходность» без указания вида среднего не сообщает ничего. Спрашивать надо две вещи: какое это среднее и за какой срок.
И тут же оговорка, без которой вывод становится неверным. Арифметическое среднее не обман по устройству и не бесполезная величина. Оно отвечает на свой законный вопрос: какова была средняя прибавка одного года. Ложью оно становится тогда, когда его выдают за ответ на другой вопрос: сколько на самом деле получил вкладчик.
Есть и обратный перегиб, который встречается реже. Услышав про два средних, легко решить, что всякая названная доходность завышена, и перестать верить числам вообще. Это тоже неверно: при ровной череде лет два средних сходятся почти вплотную, и спорить не о чем. Разница появляется там, где доходность скачет, и величину её считают, а не додумывают.
Проверить, какое среднее перед вами, можно и без вопросов, если названы годовые доходности за все годы. Перемножьте множители и сравните итог с тем, что обещает названная средняя. Если итог меньше, вам показали арифметическое. Полный набор вопросов к финансовому обещанию курс собирает в уроке 20 и приводит его там в одной редакции, а здесь важен только этот, про среднее.
Из этого урока не следует, что арифметическому среднему нельзя верить, и не следует, что какая-то стратегия лучше другой. Следует ровно одно: две величины с почти одинаковыми названиями отвечают на разные вопросы, и вкладчику отвечает сложное среднее. Решение зависит от обстоятельств, которых курс не знает: от вашего срока, дохода и обязательств.
Тренажёр урока
Тренажёр даёт набрать череду лет своими руками. Есть три готовых набора кнопками (те самые пары из этого урока), ползунок числа лет от двух до шести и по ползунку на каждый год. Годовую доходность можно ставить от минус шестидесяти до плюс ста процентов.
Дальше он показывает путь: сначала в индексе от ста, потом в деньгах от миллиона. Рядом на трёх плитках видны арифметическое среднее, сложное среднее и то, что стало с миллионом. И отдельная строка, ради которой всё затевалось: сколько было бы, если бы арифметическое среднее оказалось настоящим.
Вторая половина урока вынесена вниз, на отдельный ползунок. Он двигает падение от пяти процентов до девяноста и показывает, какой рост нужен для возврата. Череда в тренажёре учебная: её набираете вы, и ни к какому существующему фонду или рынку она не относится.
Стоит попробовать и то, чего в уроке нет: ровную череду. Поставьте шесть лет подряд по десять процентов, и оба средних сойдутся в одну точку. Потом разведите годы в стороны, оставив ту же сумму процентов, и посмотрите, как расходятся плитки. Само это движение и есть содержание урока, только показанное руками.
Что дальше
Модуль об арифметике на этом кончается, и стоит собрать его в одну мысль. Проценты не складываются: ни за годы, ни при вычитании комиссии, ни при падении и восстановлении. Всякий раз, когда их сложили вместо того, чтобы перемножить, число выходит красивее настоящего.
Дальше курс переходит от арифметики к людям. Модуль III спрашивает, чем умение управляющего отличается от везения, и начинает с тысячи фондов и одной монеты. Выясняется, что чемпион с десятилетней чередой удач выпадает сам собой.
Урок 7 разбирает эту череду в числах. Урок 8 сравнивает активное управление с индексным на данных SPIVA. Урок 9 показывает, что и у этого разоблачения есть встречное возражение, потому что разоблачение тоже бывает неверным.
Какое среднее вам показали
Наберите череду лет и сравните два средних. Плюс пятьдесят и минус пятьдесят дают «нулевую среднюю доходность» и потерю четверти денег. Тут же видно, почему падение и восстановление несимметричны.
Что подтвердилось, а что нет
Череда «+50 % и −50 %» даёт среднее арифметическое ровно 0 % в год, а миллион превращается в 750 000 за два года. Череда «+100 % и −50 %» даёт среднее +25 % в год при итоге ровно в миллион. Вкладчику отвечает сложное среднее, то есть та ставка, которая при повторении каждый год привела бы к тому же итогу. Для первой череды это −13,40 % в год.
Падение считается от целого, а восстановление от оставшегося, поэтому проценты не совпадают. Падение на 20 % требует роста на 25 %, падение на 30 % роста на 42,9 %, а падение на 50 % роста ровно на 100 %. От миллиона после падения вдвое остаётся 500 000, и заработать надо те же 500 000, но это уже сто процентов от того, что есть.
При паре «+20 % и −20 %» арифметическое среднее 0 % в год, сложное −2,02 %, разрыв два пункта с небольшим. При паре «+50 % и −50 %» те же 0 % против −13,40 %, разрыв больше тринадцати пунктов. Арифметическое среднее не бывает меньше сложного, а при ровной череде лет они сходятся почти вплотную.
Термины
- среднее арифметическоеarithmetic mean
- Сумма годовых доходностей, делённая на число лет. Отвечает на вопрос, сколько в среднем прибавлял один год. Для пары «+50 % и −50 %» равно нулю, хотя за два года денег стало на четверть меньше.
- сложное среднееcompound annual growth rate
- Единственная ставка, которая при повторении каждый год привела бы к тому же итогу. Для пары «+50 % и −50 %» равна −13,40 % в год. Никогда не бывает больше арифметического среднего, а при скачках доходности заметно меньше.
- годовая доходностьannual return
- Насколько выросло или упало вложение за один год, в процентах от суммы на начало этого года. База у каждого года своя, поэтому годовые доходности перемножаются, а не складываются.
- база процентаbase of a percentage
- Сумма, от которой считается процент. Меняется вместе со счётом: +50 % берутся от ста, а −50 % уже от ста пятидесяти. Из смены базы растут оба сюжета этого урока.
- несимметричность паденияasymmetry of losses
- Свойство, при котором возврат в исходную точку требует большего роста, чем было падение. Падение на 20 % отыгрывается ростом на 25 %, падение на 50 % ростом на 100 %, а на 90 % ростом на 900 %. Причина в том, что рост считается от оставшегося, а падение считалось от целого.
- сложный процентcompound interest
- Начисление, при котором процент считается от суммы вместе с уже набежавшими процентами. За тридцать лет при 7 % годовых даёт множитель 7,61, а не 3,10, как простой. Работает одинаково на вложении и на непогашенном долге.
- множитель за срокgrowth factor
- Во сколько раз сумма вырастает за весь срок: единица плюс ставка, возведённая в степень числа лет. При 7 % годовых и тридцати годах равен 7,61. Величина безразлична к тому, вложение это или долг.
Практикум · Найти вид среднего
Навык этого урока проверяется на любом сообщении со словами «средняя доходность». Задача одна: выяснить, какое среднее имеется в виду, и заметить, как редко это вообще сказано. Занимает полчаса.
- Соберите три сообщения, где названа средняя доходность за несколько лет: реклама, обзор, заметка в новостях. Берите те, что попались сами, а не самые сомнительные: выборка должна быть честной.
- Для каждого выпишите, сказано ли, какое это среднее и за какой срок. Слова «арифметическое», «сложное», «среднегодовой темп роста» ищите буквально, а не по смыслу.
- Если названы годовые доходности за все годы, перемножьте множители сами. Год с плюс двадцатью процентами даёт множитель 1,2, а год с минус двадцатью 0,8. Сравните получившийся итог с тем, что обещает названная средняя.
- Отметьте, в скольких из трёх сообщений вид среднего назван. Если ни в одном, это и есть ответ о том, что вам сообщили.
- Напоследок проверьте на себе несимметричность: возьмите худший год из своих трёх сообщений и посчитайте, какой рост вернул бы вложение в исходную точку.
Вопросы для самопроверки
Вложение выросло на 50 %, а на следующий год упало на 50 %. Что стало с деньгами?
- Ничего: средняя доходность ноль, деньги вернулись к исходной сумме
- Они выросли: после роста база больше, поэтому и прибавка перевесила потерю
- Потеря около двух процентов, как в паре «+20 % и −20 %»
- Осталось три четверти: путь 100 → 150 → 75, то есть −13,40 % в год
Что такое сложное среднее годовой доходности?
- Одна и та же ставка, которая при повторении каждый год дала бы тот же итог
- Среднее из годовых доходностей, взвешенное по величине вложения в каждом году
- Среднее арифметическое, из которого вычли влияние самого сильного года
- Доходность за весь срок, поделённая на число лет
В рекламе стоит надпись «средняя годовая доходность за пять лет: 12 %». Чего не хватает, чтобы понять, сколько получил вкладчик?
- Не хватает величины комиссии: комиссия вычитается из итога в конце срока
- Ничего не хватает: пять лет и двенадцать процентов дают полное описание, дальше считается множитель
- Не хватает вида среднего: при скачках доходности арифметическое заметно больше сложного, а вкладчику отвечает сложное
- Не хватает крайних лет: без самого сильного и самого слабого года среднее не читается
Вложение упало на 30 %. Какой рост вернёт его в исходную точку?
- Рост на 30 %: процент тот же, направление обратное
- Рост на 42,9 %: считать его надо от оставшихся 700 000, а не от миллиона
- Рост на 60 %: нужный процент роста вдвое больше того, на сколько упало
- Точно сказать нельзя: ответ зависит и от того, за сколько лет случилось падение
Арифметическое среднее доходности не бывает меньше сложного. Что из перечисленного отсюда НЕ следует?
- Что показывать арифметическое среднее всегда значит обманывать
- Что при скачущей доходности разрыв между двумя средними больше
- Что называть арифметическое среднее выгоднее продавцу
- Что вкладчику на его вопрос отвечает сложное среднее
Ответы и разбор открываются в самопроверке урока: она считает результат и отмечает урок пройденным. Пройти самопроверку.
Что читать
- OpenStax Principles of Finance: Открытый учебник под лицензией CC BY-NC-SA 4.0, откуда курс берёт финансовый минимум: временную стоимость денег, доходность и риск. Обе величины выводятся там формально.
- Курс школы «Здоровье», уроки о суррогатных исходах: Тот же приём на другом материале: величина посчитана верно, но отвечает не на тот вопрос, который задаёт человек. Дополнение к уроку, а не условие его понимания.